Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37409 / 20770
↖ ↑ ↗
← N 76.658253°
W 77.253113°		 ← 70.48 m → N 76.658253°
W 77.250366°		 →
↑
70.46 m
↓
↑
70.46 m
↓
N 76.657619°
W 77.253113°		 ← 70.48 m →
4 966 m²		 N 76.657619°
W 77.250366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285411834716797 y=0.158466339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285411834716797 × 217)
    floor (0.285411834716797 × 131072)
    floor (37409.5)     		tx = 37409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158466339111328 × 217)
    floor (0.158466339111328 × 131072)
    floor (20770.5)     		ty = 20770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37409 / 20770 ti = "17/37409/20770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37409/20770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37409 ÷ 217
    37409 ÷ 131072     		x = 0.285408020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20770 ÷ 217
    20770 ÷ 131072     		y = 0.158462524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285408020019531 × 2 - 1) × π
    -0.429183959960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.34832118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158462524414062 × 2 - 1) × π
    0.683074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14594324839143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34832118} λ = -1.34832118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14594324839143))-π/2
    2×atan(8.5501023051477)-π/2
    2×1.45436761895784-π/2
    2.90873523791568-1.57079632675     		φ = 1.33793891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34832118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.253113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33793891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.658253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37409 KachelY 20770 -1.34832118 1.33793891 -77.253113 76.658253
    Oben rechts KachelX + 1 37410 KachelY 20770 -1.34827324 1.33793891 -77.250366 76.658253
    Unten links KachelX 37409 KachelY + 1 20771 -1.34832118 1.33792785 -77.253113 76.657619
    Unten rechts KachelX + 1 37410 KachelY + 1 20771 -1.34827324 1.33792785 -77.250366 76.657619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33793891-1.33792785) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dl = 70.4632600003994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33793891-1.33792785) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dr = 70.4632600003994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34832118--1.34827324) × cos(1.33793891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2307587597606 × 6371000     		do = 70.4796649613172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34832118--1.34827324) × cos(1.33792785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230769521248082 × 6371000     		du = 70.4829517965948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33793891)-sin(1.33792785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2307587597606-0.230769521248082)×R²
    abs(-1.34827324--1.34832118)×1.07614874818585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07614874818585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07614874818585e-05×40589641000000     		ar = 4966.34275750048m²