Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37408 / 38876
↖ ↑ ↗
← S 31.784217°
E 25.488281°		 ← 519.19 m → S 31.784217°
E 25.493774°		 →
↑
519.24 m
↓
↑
519.24 m
↓
S 31.788886°
E 25.488281°		 ← 519.17 m →
269 577 m²		 S 31.788886°
E 25.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570808410644531 y=0.593208312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570808410644531 × 216)
    floor (0.570808410644531 × 65536)
    floor (37408.5)     		tx = 37408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593208312988281 × 216)
    floor (0.593208312988281 × 65536)
    floor (38876.5)     		ty = 38876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37408 / 38876 ti = "16/37408/38876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37408/38876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37408 ÷ 216
    37408 ÷ 65536     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38876 ÷ 216
    38876 ÷ 65536     		y = 0.59320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585597165758606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585597165758606))-π/2
    2×atan(0.55677327658172)-π/2
    2×0.508028546003423-π/2
    1.01605709200685-1.57079632675     		φ = -0.55473923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55473923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.784217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37408 KachelY 38876 0.44485443 -0.55473923 25.488281 -31.784217
    Oben rechts KachelX + 1 37409 KachelY 38876 0.44495030 -0.55473923 25.493774 -31.784217
    Unten links KachelX 37408 KachelY + 1 38877 0.44485443 -0.55482073 25.488281 -31.788886
    Unten rechts KachelX + 1 37409 KachelY + 1 38877 0.44495030 -0.55482073 25.493774 -31.788886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55473923--0.55482073) × R
    8.14999999999566e-05 × 6371000     		dl = 519.236499999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55473923--0.55482073) × R
    8.14999999999566e-05 × 6371000     		dr = 519.236499999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44495030) × cos(-0.55473923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850037822375631 × 6371000     		do = 519.192705944457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44495030) × cos(-0.55482073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849994891737816 × 6371000     		du = 519.166484435921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55473923)-sin(-0.55482073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850037822375631-0.849994891737816)×R²
    abs(0.44495030-0.44485443)×4.29306378150196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29306378150196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29306378150196e-05×40589641000000     		ar = 269576.996027184m²