Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37408 / 30560
↖ ↑ ↗
← N 12.039320°
E 25.488281°		 ← 597.35 m → N 12.039320°
E 25.493774°		 →
↑
597.34 m
↓
↑
597.34 m
↓
N 12.033948°
E 25.488281°		 ← 597.37 m →
356 830 m²		 N 12.033948°
E 25.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570808410644531 y=0.466316223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570808410644531 × 216)
    floor (0.570808410644531 × 65536)
    floor (37408.5)     		tx = 37408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466316223144531 × 216)
    floor (0.466316223144531 × 65536)
    floor (30560.5)     		ty = 30560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37408 / 30560 ti = "16/37408/30560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37408/30560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37408 ÷ 216
    37408 ÷ 65536     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30560 ÷ 216
    30560 ÷ 65536     		y = 0.46630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46630859375 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.211689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211689348722168))-π/2
    2×atan(1.23576393379898)-π/2
    2×0.890461055110551-π/2
    1.7809221102211-1.57079632675     		φ = 0.21012578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21012578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.039320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37408 KachelY 30560 0.44485443 0.21012578 25.488281 12.039320
    Oben rechts KachelX + 1 37409 KachelY 30560 0.44495030 0.21012578 25.493774 12.039320
    Unten links KachelX 37408 KachelY + 1 30561 0.44485443 0.21003202 25.488281 12.033948
    Unten rechts KachelX + 1 37409 KachelY + 1 30561 0.44495030 0.21003202 25.493774 12.033948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21012578-0.21003202) × R
    9.37599999999983e-05 × 6371000     		dl = 597.344959999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21012578-0.21003202) × R
    9.37599999999983e-05 × 6371000     		dr = 597.344959999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44495030) × cos(0.21012578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978004686901493 × 6371000     		do = 597.353301762098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44495030) × cos(0.21003202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978024239336778 × 6371000     		du = 597.365244150444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21012578)-sin(0.21003202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978004686901493-0.978024239336778)×R²
    abs(0.44495030-0.44485443)×1.95524352857301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95524352857301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95524352857301e-05×40589641000000     		ar = 356829.551271126m²