Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37403 / 26934
↖ ↑ ↗
← N 30.496018°
E 25.460815°		 ← 526.29 m → N 30.496018°
E 25.466308°		 →
↑
526.31 m
↓
↑
526.31 m
↓
N 30.491285°
E 25.460815°		 ← 526.32 m →
277 000 m²		 N 30.491285°
E 25.466308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570732116699219 y=0.410987854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570732116699219 × 216)
    floor (0.570732116699219 × 65536)
    floor (37403.5)     		tx = 37403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410987854003906 × 216)
    floor (0.410987854003906 × 65536)
    floor (26934.5)     		ty = 26934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37403 / 26934 ti = "16/37403/26934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37403/26934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37403 ÷ 216
    37403 ÷ 65536     		x = 0.570724487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26934 ÷ 216
    26934 ÷ 65536     		y = 0.410980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570724487304688 × 2 - 1) × π
    0.141448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44437506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410980224609375 × 2 - 1) × π
    0.17803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.559327744766815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44437506} λ = 0.44437506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559327744766815))-π/2
    2×atan(1.74949599704573)-π/2
    2×1.05152612334246-π/2
    2.10305224668493-1.57079632675     		φ = 0.53225592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44437506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.460815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53225592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.496018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37403 KachelY 26934 0.44437506 0.53225592 25.460815 30.496018
    Oben rechts KachelX + 1 37404 KachelY 26934 0.44447093 0.53225592 25.466308 30.496018
    Unten links KachelX 37403 KachelY + 1 26935 0.44437506 0.53217331 25.460815 30.491285
    Unten rechts KachelX + 1 37404 KachelY + 1 26935 0.44447093 0.53217331 25.466308 30.491285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53225592-0.53217331) × R
    8.2609999999983e-05 × 6371000     		dl = 526.308309999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53225592-0.53217331) × R
    8.2609999999983e-05 × 6371000     		dr = 526.308309999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44437506-0.44447093) × cos(0.53225592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861664433219813 × 6371000     		do = 526.294097654632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44437506-0.44447093) × cos(0.53217331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861706353076566 × 6371000     		du = 526.319701790457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53225592)-sin(0.53217331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861664433219813-0.861706353076566)×R²
    abs(0.44447093-0.44437506)×4.19198567529477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19198567529477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19198567529477e-05×40589641000000     		ar = 276999.69509169m²