Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37402 / 27362
↖ ↑ ↗
← N 28.449374°
E 25.455323°		 ← 537.03 m → N 28.449374°
E 25.460815°		 →
↑
537.01 m
↓
↑
537.01 m
↓
N 28.444544°
E 25.455323°		 ← 537.05 m →
288 397 m²		 N 28.444544°
E 25.460815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570716857910156 y=0.417518615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570716857910156 × 216)
    floor (0.570716857910156 × 65536)
    floor (37402.5)     		tx = 37402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417518615722656 × 216)
    floor (0.417518615722656 × 65536)
    floor (27362.5)     		ty = 27362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37402 / 27362 ti = "16/37402/27362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37402/27362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37402 ÷ 216
    37402 ÷ 65536     		x = 0.570709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27362 ÷ 216
    27362 ÷ 65536     		y = 0.417510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570709228515625 × 2 - 1) × π
    0.14141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44427919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417510986328125 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.518293758692047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44427919} λ = 0.44427919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518293758692047))-π/2
    2×atan(1.67916015165932)-π/2
    2×1.03366578538097-π/2
    2.06733157076194-1.57079632675     		φ = 0.49653524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44427919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.455323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49653524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.449374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37402 KachelY 27362 0.44427919 0.49653524 25.455323 28.449374
    Oben rechts KachelX + 1 37403 KachelY 27362 0.44437506 0.49653524 25.460815 28.449374
    Unten links KachelX 37402 KachelY + 1 27363 0.44427919 0.49645095 25.455323 28.444544
    Unten rechts KachelX + 1 37403 KachelY + 1 27363 0.44437506 0.49645095 25.460815 28.444544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49653524-0.49645095) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dl = 537.011589999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49653524-0.49645095) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dr = 537.011589999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44427919-0.44437506) × cos(0.49653524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879238385504252 × 6371000     		do = 537.028052780531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44427919-0.44437506) × cos(0.49645095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879278536624135 × 6371000     		du = 537.052576593507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49653524)-sin(0.49645095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879238385504252-0.879278536624135)×R²
    abs(0.44437506-0.44427919)×4.01511198832027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01511198832027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01511198832027e-05×40589641000000     		ar = 288396.873454752m²