Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37400 / 20791
↖ ↑ ↗
← N 76.644937°
W 77.277832°		 ← 70.55 m → N 76.644937°
W 77.275085°		 →
↑
70.53 m
↓
↑
70.53 m
↓
N 76.644302°
W 77.277832°		 ← 70.55 m →
4 976 m²		 N 76.644302°
W 77.275085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285343170166016 y=0.158626556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285343170166016 × 217)
    floor (0.285343170166016 × 131072)
    floor (37400.5)     		tx = 37400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158626556396484 × 217)
    floor (0.158626556396484 × 131072)
    floor (20791.5)     		ty = 20791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37400 / 20791 ti = "17/37400/20791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37400/20791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37400 ÷ 217
    37400 ÷ 131072     		x = 0.28533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20791 ÷ 217
    20791 ÷ 131072     		y = 0.158622741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.4293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.34875261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158622741699219 × 2 - 1) × π
    0.682754516601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.14493657349941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34875261} λ = -1.34875261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14493657349941))-π/2
    2×atan(8.54149946269215)-π/2
    2×1.45425141253151-π/2
    2.90850282506303-1.57079632675     		φ = 1.33770650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34875261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33770650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.644937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37400 KachelY 20791 -1.34875261 1.33770650 -77.277832 76.644937
    Oben rechts KachelX + 1 37401 KachelY 20791 -1.34870467 1.33770650 -77.275085 76.644937
    Unten links KachelX 37400 KachelY + 1 20792 -1.34875261 1.33769543 -77.277832 76.644302
    Unten rechts KachelX + 1 37401 KachelY + 1 20792 -1.34870467 1.33769543 -77.275085 76.644302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33770650-1.33769543) × R
    1.10700000000019e-05 × 6371000     		dl = 70.5269700000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33770650-1.33769543) × R
    1.10700000000019e-05 × 6371000     		dr = 70.5269700000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34875261--1.34870467) × cos(1.33770650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230984891011572 × 6371000     		do = 70.5487312659826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34875261--1.34870467) × cos(1.33769543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230995661635143 × 6371000     		du = 70.5520208916568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33770650)-sin(1.33769543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230984891011572-0.230995661635143)×R²
    abs(-1.34870467--1.34875261)×1.07706235702165e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07706235702165e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07706235702165e-05×40589641000000     		ar = 4975.70425732786m²