Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3740 / 3926
↖ ↑ ↗
← N 79.516660°
W138.911133°		 ← 222.28 m → N 79.516660°
W138.900147°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 79.514661°
W138.911133°		 ← 222.32 m →
49 413 m²		 N 79.514661°
W138.900147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114151000976562 y=0.119827270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114151000976562 × 215)
    floor (0.114151000976562 × 32768)
    floor (3740.5)     		tx = 3740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119827270507812 × 215)
    floor (0.119827270507812 × 32768)
    floor (3926.5)     		ty = 3926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3740 / 3926 ti = "15/3740/3926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3740/3926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3740 ÷ 215
    3740 ÷ 32768     		x = 0.1141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3926 ÷ 215
    3926 ÷ 32768     		y = 0.11981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42445664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11981201171875 × 2 - 1) × π
    0.7603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38879158186664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42445664} λ = -2.42445664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38879158186664))-π/2
    2×atan(10.900313844202)-π/2
    2×1.47931192936451-π/2
    2.95862385872903-1.57079632675     		φ = 1.38782753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42445664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38782753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.516660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3740 KachelY 3926 -2.42445664 1.38782753 -138.911133 79.516660
    Oben rechts KachelX + 1 3741 KachelY 3926 -2.42426489 1.38782753 -138.900147 79.516660
    Unten links KachelX 3740 KachelY + 1 3927 -2.42445664 1.38779264 -138.911133 79.514661
    Unten rechts KachelX + 1 3741 KachelY + 1 3927 -2.42426489 1.38779264 -138.900147 79.514661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38782753-1.38779264) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38782753-1.38779264) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42445664--2.42426489) × cos(1.38782753) × R
    0.000191749999999935 × 0.181949612176305 × 6371000     		do = 222.276787756777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42445664--2.42426489) × cos(1.38779264) × R
    0.000191749999999935 × 0.181983919676631 × 6371000     		du = 222.318699145744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38782753)-sin(1.38779264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181949612176305-0.181983919676631)×R²
    abs(-2.42426489--2.42445664)×3.43075003256532e-05×R²
    0.000191749999999935×3.43075003256532e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.43075003256532e-05×40589641000000     		ar = 49413.2738467393m²