Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3740 / 3742
↖ ↑ ↗
← S 81.492306°
E148.710937°		 ← 1 445.84 m → S 81.492306°
E148.798828°		 →
↑
1 444.75 m
↓
↑
1 444.75 m
↓
S 81.505299°
E148.710937°		 ← 1 443.65 m →
2 087 293 m²		 S 81.505299°
E148.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9132080078125 y=0.9136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9132080078125 × 212)
    floor (0.9132080078125 × 4096)
    floor (3740.5)     		tx = 3740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9136962890625 × 212)
    floor (0.9136962890625 × 4096)
    floor (3742.5)     		ty = 3742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3740 / 3742 ti = "12/3740/3742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3740/3742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3740 ÷ 212
    3740 ÷ 4096     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3742 ÷ 212
    3742 ÷ 4096     		y = 0.91357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    -0.8271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.598563454604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.598563454604))-π/2
    2×atan(0.0743803522556785)-π/2
    2×0.0742436375893174-π/2
    0.148487275178635-1.57079632675     		φ = -1.42230905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42230905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.492306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3740 KachelY 3742 2.59549549 -1.42230905 148.710937 -81.492306
    Oben rechts KachelX + 1 3741 KachelY 3742 2.59702947 -1.42230905 148.798828 -81.492306
    Unten links KachelX 3740 KachelY + 1 3743 2.59549549 -1.42253582 148.710937 -81.505299
    Unten rechts KachelX + 1 3741 KachelY + 1 3743 2.59702947 -1.42253582 148.798828 -81.505299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42230905--1.42253582) × R
    0.000226770000000043 × 6371000     		dl = 1444.75167000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42230905--1.42253582) × R
    0.000226770000000043 × 6371000     		dr = 1444.75167000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59702947) × cos(-1.42230905) × R
    0.00153398000000005 × 0.147942225107967 × 6371000     		do = 1445.83738059555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59702947) × cos(-1.42253582) × R
    0.00153398000000005 × 0.147717946681884 × 6371000     		du = 1443.64551054725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42230905)-sin(-1.42253582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147942225107967-0.147717946681884)×R²
    abs(2.59702947-2.59549549)×0.000224278426083191×R²
    0.00153398000000005×0.000224278426083191×6371000²
    0.00153398000000005×0.000224278426083191×40589641000000     		ar = 2087292.62514793m²