Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3740 / 3705
↖ ↑ ↗
← S 80.997452°
E148.710937°		 ← 1 529.26 m → S 80.997452°
E148.798828°		 →
↑
1 528.08 m
↓
↑
1 528.08 m
↓
S 81.011194°
E148.710937°		 ← 1 526.95 m →
2 335 071 m²		 S 81.011194°
E148.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9132080078125 y=0.9046630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9132080078125 × 212)
    floor (0.9132080078125 × 4096)
    floor (3740.5)     		tx = 3740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9046630859375 × 212)
    floor (0.9046630859375 × 4096)
    floor (3705.5)     		ty = 3705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3740 / 3705 ti = "12/3740/3705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3740/3705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3740 ÷ 212
    3740 ÷ 4096     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3705 ÷ 212
    3705 ÷ 4096     		y = 0.904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.80908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54180616545386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54180616545386))-π/2
    2×atan(0.0787240825868008)-π/2
    2×0.0785620543216218-π/2
    0.157124108643244-1.57079632675     		φ = -1.41367222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41367222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.997452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3740 KachelY 3705 2.59549549 -1.41367222 148.710937 -80.997452
    Oben rechts KachelX + 1 3741 KachelY 3705 2.59702947 -1.41367222 148.798828 -80.997452
    Unten links KachelX 3740 KachelY + 1 3706 2.59549549 -1.41391207 148.710937 -81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 3741 KachelY + 1 3706 2.59702947 -1.41391207 148.798828 -81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41367222--1.41391207) × R
    0.000239850000000041 × 6371000     		dl = 1528.08435000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41367222--1.41391207) × R
    0.000239850000000041 × 6371000     		dr = 1528.08435000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59702947) × cos(-1.41367222) × R
    0.00153398000000005 × 0.156478391450753 × 6371000     		do = 1529.26121970824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59702947) × cos(-1.41391207) × R
    0.00153398000000005 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 1526.94600037751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41367222)-sin(-1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156478391450753-0.156241491572525)×R²
    abs(2.59702947-2.59549549)×0.000236899878227642×R²
    0.00153398000000005×0.000236899878227642×6371000²
    0.00153398000000005×0.000236899878227642×40589641000000     		ar = 2335071.22287733m²