Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3740 / 2595
↖ ↑ ↗
← N 54.901882°
W 15.644531°		 ← 2 809.63 m → N 54.901882°
W 15.600586°		 →
↑
2 810.50 m
↓
↑
2 810.50 m
↓
N 54.876607°
W 15.644531°		 ← 2 811.39 m →
7 898 946 m²		 N 54.876607°
W 15.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45660400390625 y=0.31683349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45660400390625 × 213)
    floor (0.45660400390625 × 8192)
    floor (3740.5)     		tx = 3740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31683349609375 × 213)
    floor (0.31683349609375 × 8192)
    floor (2595.5)     		ty = 2595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3740 / 2595 ti = "13/3740/2595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3740/2595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3740 ÷ 213
    3740 ÷ 8192     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2595 ÷ 213
    2595 ÷ 8192     		y = 0.3167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3167724609375 × 2 - 1) × π
    0.366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15125258127527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15125258127527))-π/2
    2×atan(3.16215128156583)-π/2
    2×1.26450746824394-π/2
    2.52901493648787-1.57079632675     		φ = 0.95821861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95821861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.901882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3740 KachelY 2595 -0.27304858 0.95821861 -15.644531 54.901882
    Oben rechts KachelX + 1 3741 KachelY 2595 -0.27228159 0.95821861 -15.600586 54.901882
    Unten links KachelX 3740 KachelY + 1 2596 -0.27304858 0.95777747 -15.644531 54.876607
    Unten rechts KachelX + 1 3741 KachelY + 1 2596 -0.27228159 0.95777747 -15.600586 54.876607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95821861-0.95777747) × R
    0.000441139999999951 × 6371000     		dl = 2810.50293999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95821861-0.95777747) × R
    0.000441139999999951 × 6371000     		dr = 2810.50293999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27228159) × cos(0.95821861) × R
    0.000766989999999967 × 0.574978374978823 × 6371000     		do = 2809.627971229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27228159) × cos(0.95777747) × R
    0.000766989999999967 × 0.575339245919403 × 6371000     		du = 2811.3913646587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95821861)-sin(0.95777747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574978374978823-0.575339245919403)×R²
    abs(-0.27228159--0.27304858)×0.000360870940580682×R²
    0.000766989999999967×0.000360870940580682×6371000²
    0.000766989999999967×0.000360870940580682×40589641000000     		ar = 7898945.81275153m²