Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 374 / 430
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
W 48.515625°		 ← 34.617 km → N 27.683528°
W 48.164062°		 →
↑
34.666 km
↓
↑
34.666 km
↓
N 27.371767°
W 48.515625°		 ← 34.715 km →
1 201.75 km²		 N 27.371767°
W 48.164062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36572265625 y=0.42041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36572265625 × 210)
    floor (0.36572265625 × 1024)
    floor (374.5)     		tx = 374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42041015625 × 210)
    floor (0.42041015625 × 1024)
    floor (430.5)     		ty = 430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 374 / 430 ti = "10/374/430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/374/430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 374 ÷ 210
    374 ÷ 1024     		x = 0.365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 430 ÷ 210
    430 ÷ 1024     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365234375 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84675739} λ = -0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 374 KachelY 430 -0.84675739 0.48316871 -48.515625 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 375 KachelY 430 -0.84062147 0.48316871 -48.164062 27.683528
    Unten links KachelX 374 KachelY + 1 431 -0.84675739 0.47772746 -48.515625 27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 375 KachelY + 1 431 -0.84062147 0.47772746 -48.164062 27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.47772746) × R
    0.00544125000000001 × 6371000     		dl = 34666.2037500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.47772746) × R
    0.00544125000000001 × 6371000     		dr = 34666.2037500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84675739--0.84062147) × cos(0.48316871) × R
    0.00613592000000007 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 34616.9828581674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84675739--0.84062147) × cos(0.47772746) × R
    0.00613592000000007 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 34715.291879137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.88804204310942)×R²
    abs(-0.84062147--0.84675739)×0.00251481520425834×R²
    0.00613592000000007×0.00251481520425834×6371000²
    0.00613592000000007×0.00251481520425834×40589641000000     		ar = 1201746346.2775m²