Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37399 / 27337
↖ ↑ ↗
← N 28.570050°
E 25.438843°		 ← 536.47 m → N 28.570050°
E 25.444336°		 →
↑
536.44 m
↓
↑
536.44 m
↓
N 28.565226°
E 25.438843°		 ← 536.49 m →
287 790 m²		 N 28.565226°
E 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570671081542969 y=0.417137145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570671081542969 × 216)
    floor (0.570671081542969 × 65536)
    floor (37399.5)     		tx = 37399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417137145996094 × 216)
    floor (0.417137145996094 × 65536)
    floor (27337.5)     		ty = 27337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37399 / 27337 ti = "16/37399/27337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37399/27337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37399 ÷ 216
    37399 ÷ 65536     		x = 0.570663452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27337 ÷ 216
    27337 ÷ 65536     		y = 0.417129516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570663452148438 × 2 - 1) × π
    0.141326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44399156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417129516601562 × 2 - 1) × π
    0.165740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.52069060367305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44399156} λ = 0.44399156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52069060367305))-π/2
    2×atan(1.6831896653719)-π/2
    2×1.03471888232034-π/2
    2.06943776464068-1.57079632675     		φ = 0.49864144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44399156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.438843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49864144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.570050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37399 KachelY 27337 0.44399156 0.49864144 25.438843 28.570050
    Oben rechts KachelX + 1 37400 KachelY 27337 0.44408744 0.49864144 25.444336 28.570050
    Unten links KachelX 37399 KachelY + 1 27338 0.44399156 0.49855724 25.438843 28.565226
    Unten rechts KachelX + 1 37400 KachelY + 1 27338 0.44408744 0.49855724 25.444336 28.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49864144-0.49855724) × R
    8.41999999999787e-05 × 6371000     		dl = 536.438199999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49864144-0.49855724) × R
    8.41999999999787e-05 × 6371000     		dr = 536.438199999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44399156-0.44408744) × cos(0.49864144) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87823308017926 × 6371000     		do = 536.469976812419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44399156-0.44408744) × cos(0.49855724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878273344271834 × 6371000     		du = 536.494572192958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49864144)-sin(0.49855724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87823308017926-0.878273344271834)×R²
    abs(0.44408744-0.44399156)×4.02640925734055e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.02640925734055e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.02640925734055e-05×40589641000000     		ar = 287789.585836018m²