Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37397 / 27336
↖ ↑ ↗
← N 28.574874°
E 25.427857°		 ← 536.39 m → N 28.574874°
E 25.433350°		 →
↑
536.44 m
↓
↑
536.44 m
↓
N 28.570050°
E 25.427857°		 ← 536.41 m →
287 746 m²		 N 28.570050°
E 25.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570640563964844 y=0.417121887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570640563964844 × 216)
    floor (0.570640563964844 × 65536)
    floor (37397.5)     		tx = 37397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417121887207031 × 216)
    floor (0.417121887207031 × 65536)
    floor (27336.5)     		ty = 27336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37397 / 27336 ti = "16/37397/27336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37397/27336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37397 ÷ 216
    37397 ÷ 65536     		x = 0.570632934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27336 ÷ 216
    27336 ÷ 65536     		y = 0.4171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570632934570312 × 2 - 1) × π
    0.141265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44379982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44379982} λ = 0.44379982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52078647747229))-π/2
    2×atan(1.68335104689597)-π/2
    2×1.03476098112623-π/2
    2.06952196225245-1.57079632675     		φ = 0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44379982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.427857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37397 KachelY 27336 0.44379982 0.49872564 25.427857 28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 37398 KachelY 27336 0.44389569 0.49872564 25.433350 28.574874
    Unten links KachelX 37397 KachelY + 1 27337 0.44379982 0.49864144 25.427857 28.570050
    Unten rechts KachelX + 1 37398 KachelY + 1 27337 0.44389569 0.49864144 25.433350 28.570050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49872564-0.49864144) × R
    8.42000000000342e-05 × 6371000     		dl = 536.438200000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49872564-0.49864144) × R
    8.42000000000342e-05 × 6371000     		dr = 536.438200000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44379982-0.44389569) × cos(0.49872564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 536.389427964613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44379982-0.44389569) × cos(0.49864144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87823308017926 × 6371000     		du = 536.41402458291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49872564)-sin(0.49864144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.87823308017926)×R²
    abs(0.44389569-0.44379982)×4.02703189298359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02703189298359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02703189298359e-05×40589641000000     		ar = 287746.376689313m²