Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37396 / 27060
↖ ↑ ↗
← N 29.897806°
E 25.422363°		 ← 529.56 m → N 29.897806°
E 25.427857°		 →
↑
529.56 m
↓
↑
529.56 m
↓
N 29.893043°
E 25.422363°		 ← 529.58 m →
280 437 m²		 N 29.893043°
E 25.427857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570625305175781 y=0.412910461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570625305175781 × 216)
    floor (0.570625305175781 × 65536)
    floor (37396.5)     		tx = 37396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412910461425781 × 216)
    floor (0.412910461425781 × 65536)
    floor (27060.5)     		ty = 27060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37396 / 27060 ti = "16/37396/27060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37396/27060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37396 ÷ 216
    37396 ÷ 65536     		x = 0.57061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27060 ÷ 216
    27060 ÷ 65536     		y = 0.41290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57061767578125 × 2 - 1) × π
    0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41290283203125 × 2 - 1) × π
    0.1741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.547247646062561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44370394} λ = 0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547247646062561))-π/2
    2×atan(1.72848905116777)-π/2
    2×1.04630573689989-π/2
    2.09261147379979-1.57079632675     		φ = 0.52181515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52181515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.897806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37396 KachelY 27060 0.44370394 0.52181515 25.422363 29.897806
    Oben rechts KachelX + 1 37397 KachelY 27060 0.44379982 0.52181515 25.427857 29.897806
    Unten links KachelX 37396 KachelY + 1 27061 0.44370394 0.52173203 25.422363 29.893043
    Unten rechts KachelX + 1 37397 KachelY + 1 27061 0.44379982 0.52173203 25.427857 29.893043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52181515-0.52173203) × R
    8.31199999999921e-05 × 6371000     		dl = 529.55751999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52181515-0.52173203) × R
    8.31199999999921e-05 × 6371000     		dr = 529.55751999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44370394-0.44379982) × cos(0.52181515) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866915838559009 × 6371000     		do = 529.556823019171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44370394-0.44379982) × cos(0.52173203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866957267105627 × 6371000     		du = 529.582129708187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52181515)-sin(0.52173203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866915838559009-0.866957267105627)×R²
    abs(0.44379982-0.44370394)×4.14285466188158e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.14285466188158e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.14285466188158e-05×40589641000000     		ar = 280437.498732328m²