Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37395 / 27839
↖ ↑ ↗
← N 26.120918°
E 25.416870°		 ← 548.41 m → N 26.120918°
E 25.422363°		 →
↑
548.48 m
↓
↑
548.48 m
↓
N 26.115986°
E 25.416870°		 ← 548.43 m →
300 796 m²		 N 26.115986°
E 25.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570610046386719 y=0.424797058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570610046386719 × 216)
    floor (0.570610046386719 × 65536)
    floor (37395.5)     		tx = 37395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424797058105469 × 216)
    floor (0.424797058105469 × 65536)
    floor (27839.5)     		ty = 27839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37395 / 27839 ti = "16/37395/27839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37395/27839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37395 ÷ 216
    37395 ÷ 65536     		x = 0.570602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27839 ÷ 216
    27839 ÷ 65536     		y = 0.424789428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570602416992188 × 2 - 1) × π
    0.141204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44360807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424789428710938 × 2 - 1) × π
    0.150421142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.472561956454514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44360807} λ = 0.44360807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472561956454514))-π/2
    2×atan(1.60409856403255)-π/2
    2×1.01334617615588-π/2
    2.02669235231176-1.57079632675     		φ = 0.45589603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44360807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45589603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.120918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37395 KachelY 27839 0.44360807 0.45589603 25.416870 26.120918
    Oben rechts KachelX + 1 37396 KachelY 27839 0.44370394 0.45589603 25.422363 26.120918
    Unten links KachelX 37395 KachelY + 1 27840 0.44360807 0.45580994 25.416870 26.115986
    Unten rechts KachelX + 1 37396 KachelY + 1 27840 0.44370394 0.45580994 25.422363 26.115986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45589603-0.45580994) × R
    8.60899999999831e-05 × 6371000     		dl = 548.479389999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45589603-0.45580994) × R
    8.60899999999831e-05 × 6371000     		dr = 548.479389999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44360807-0.44370394) × cos(0.45589603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897866896220929 × 6371000     		do = 548.40611929959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44360807-0.44370394) × cos(0.45580994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897904795480173 × 6371000     		du = 548.429267703629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45589603)-sin(0.45580994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897866896220929-0.897904795480173)×R²
    abs(0.44370394-0.44360807)×3.78992592444671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78992592444671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78992592444671e-05×40589641000000     		ar = 300795.802182752m²