Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37394 / 27980
↖ ↑ ↗
← N 25.423432°
E 25.411377°		 ← 551.64 m → N 25.423432°
E 25.416870°		 →
↑
551.73 m
↓
↑
551.73 m
↓
N 25.418470°
E 25.411377°		 ← 551.66 m →
304 361 m²		 N 25.418470°
E 25.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570594787597656 y=0.426948547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570594787597656 × 216)
    floor (0.570594787597656 × 65536)
    floor (37394.5)     		tx = 37394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426948547363281 × 216)
    floor (0.426948547363281 × 65536)
    floor (27980.5)     		ty = 27980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37394 / 27980 ti = "16/37394/27980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37394/27980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37394 ÷ 216
    37394 ÷ 65536     		x = 0.570587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27980 ÷ 216
    27980 ÷ 65536     		y = 0.42694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570587158203125 × 2 - 1) × π
    0.14117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44351220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42694091796875 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.459043750761658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44351220} λ = 0.44351220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459043750761658))-π/2
    2×atan(1.58255993947066)-π/2
    2×1.00725945616379-π/2
    2.01451891232758-1.57079632675     		φ = 0.44372259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44351220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44372259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.423432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37394 KachelY 27980 0.44351220 0.44372259 25.411377 25.423432
    Oben rechts KachelX + 1 37395 KachelY 27980 0.44360807 0.44372259 25.416870 25.423432
    Unten links KachelX 37394 KachelY + 1 27981 0.44351220 0.44363599 25.411377 25.418470
    Unten rechts KachelX + 1 37395 KachelY + 1 27981 0.44360807 0.44363599 25.416870 25.418470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44372259-0.44363599) × R
    8.65999999999922e-05 × 6371000     		dl = 551.728599999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44372259-0.44363599) × R
    8.65999999999922e-05 × 6371000     		dr = 551.728599999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44351220-0.44360807) × cos(0.44372259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903159800018213 × 6371000     		do = 551.638960206758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44351220-0.44360807) × cos(0.44363599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903196974403426 × 6371000     		du = 551.661665866604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44372259)-sin(0.44363599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903159800018213-0.903196974403426)×R²
    abs(0.44360807-0.44351220)×3.71743852130013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71743852130013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71743852130013e-05×40589641000000     		ar = 304361.255091386m²