Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37391 / 27056
↖ ↑ ↗
← N 29.916852°
E 25.394897°		 ← 529.46 m → N 29.916852°
E 25.400391°		 →
↑
529.43 m
↓
↑
529.43 m
↓
N 29.912091°
E 25.394897°		 ← 529.48 m →
280 316 m²		 N 29.912091°
E 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570549011230469 y=0.412849426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570549011230469 × 216)
    floor (0.570549011230469 × 65536)
    floor (37391.5)     		tx = 37391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412849426269531 × 216)
    floor (0.412849426269531 × 65536)
    floor (27056.5)     		ty = 27056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37391 / 27056 ti = "16/37391/27056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37391/27056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37391 ÷ 216
    37391 ÷ 65536     		x = 0.570541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27056 ÷ 216
    27056 ÷ 65536     		y = 0.412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570541381835938 × 2 - 1) × π
    0.141082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44322457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44322457} λ = 0.44322457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547631141259522))-π/2
    2×atan(1.72915204553635)-π/2
    2×1.04647195004051-π/2
    2.09294390008102-1.57079632675     		φ = 0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44322457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37391 KachelY 27056 0.44322457 0.52214757 25.394897 29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 37392 KachelY 27056 0.44332045 0.52214757 25.400391 29.916852
    Unten links KachelX 37391 KachelY + 1 27057 0.44322457 0.52206447 25.394897 29.912091
    Unten rechts KachelX + 1 37392 KachelY + 1 27057 0.44332045 0.52206447 25.400391 29.912091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52214757-0.52206447) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dl = 529.430100000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52214757-0.52206447) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dr = 529.430100000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44322457-0.44332045) × cos(0.52214757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 529.455577957584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44322457-0.44332045) × cos(0.52206447) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866791536930336 × 6371000     		du = 529.48089318533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52214757)-sin(0.52206447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866791536930336)×R²
    abs(0.44332045-0.44322457)×4.14425250238049e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.14425250238049e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.14425250238049e-05×40589641000000     		ar = 280316.421066628m²