Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37390 / 30590
↖ ↑ ↗
← N 11.878102°
E 25.389404°		 ← 597.71 m → N 11.878102°
E 25.394897°		 →
↑
597.73 m
↓
↑
597.73 m
↓
N 11.872727°
E 25.389404°		 ← 597.72 m →
357 271 m²		 N 11.872727°
E 25.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570533752441406 y=0.466773986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570533752441406 × 216)
    floor (0.570533752441406 × 65536)
    floor (37390.5)     		tx = 37390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466773986816406 × 216)
    floor (0.466773986816406 × 65536)
    floor (30590.5)     		ty = 30590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37390 / 30590 ti = "16/37390/30590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37390/30590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37390 ÷ 216
    37390 ÷ 65536     		x = 0.570526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30590 ÷ 216
    30590 ÷ 65536     		y = 0.466766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570526123046875 × 2 - 1) × π
    0.14105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44312870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466766357421875 × 2 - 1) × π
    0.06646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.208813134744965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44312870} λ = 0.44312870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208813134744965))-π/2
    2×atan(1.23221471889759)-π/2
    2×0.889054159615545-π/2
    1.77810831923109-1.57079632675     		φ = 0.20731199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44312870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20731199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.878102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37390 KachelY 30590 0.44312870 0.20731199 25.389404 11.878102
    Oben rechts KachelX + 1 37391 KachelY 30590 0.44322457 0.20731199 25.394897 11.878102
    Unten links KachelX 37390 KachelY + 1 30591 0.44312870 0.20721817 25.389404 11.872727
    Unten rechts KachelX + 1 37391 KachelY + 1 30591 0.44322457 0.20721817 25.394897 11.872727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20731199-0.20721817) × R
    9.38199999999945e-05 × 6371000     		dl = 597.727219999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20731199-0.20721817) × R
    9.38199999999945e-05 × 6371000     		dr = 597.727219999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44312870-0.44322457) × cos(0.20731199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978587723015688 × 6371000     		do = 597.709413090117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44312870-0.44322457) × cos(0.20721817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978607029697511 × 6371000     		du = 597.721205375254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20731199)-sin(0.20721817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978587723015688-0.978607029697511)×R²
    abs(0.44322457-0.44312870)×1.93066818231502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93066818231502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93066818231502e-05×40589641000000     		ar = 357270.710401168m²