Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3739 / 3924
↖ ↑ ↗
← N 79.520658°
W138.922119°		 ← 222.18 m → N 79.520658°
W138.911133°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
N 79.518659°
W138.922119°		 ← 222.22 m →
49 378 m²		 N 79.518659°
W138.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114120483398438 y=0.119766235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114120483398438 × 215)
    floor (0.114120483398438 × 32768)
    floor (3739.5)     		tx = 3739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119766235351562 × 215)
    floor (0.119766235351562 × 32768)
    floor (3924.5)     		ty = 3924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3739 / 3924 ti = "15/3739/3924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3739/3924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3739 ÷ 215
    3739 ÷ 32768     		x = 0.114105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3924 ÷ 215
    3924 ÷ 32768     		y = 0.1197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.77178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42464838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1197509765625 × 2 - 1) × π
    0.760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3891750770636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42464838} λ = -2.42464838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3891750770636))-π/2
    2×atan(10.9044948638558)-π/2
    2×1.47934681118803-π/2
    2.95869362237605-1.57079632675     		φ = 1.38789730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42464838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.922119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38789730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.520658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3739 KachelY 3924 -2.42464838 1.38789730 -138.922119 79.520658
    Oben rechts KachelX + 1 3740 KachelY 3924 -2.42445664 1.38789730 -138.911133 79.520658
    Unten links KachelX 3739 KachelY + 1 3925 -2.42464838 1.38786242 -138.922119 79.518659
    Unten rechts KachelX + 1 3740 KachelY + 1 3925 -2.42445664 1.38786242 -138.911133 79.518659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38789730-1.38786242) × R
    3.48799999998484e-05 × 6371000     		dl = 222.220479999034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38789730-1.38786242) × R
    3.48799999998484e-05 × 6371000     		dr = 222.220479999034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42464838--2.42445664) × cos(1.38789730) × R
    0.000191739999999996 × 0.181881006344433 × 6371000     		do = 222.181388540939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42464838--2.42445664) × cos(1.38786242) × R
    0.000191739999999996 × 0.18191530445449 × 6371000     		du = 222.223286273253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38789730)-sin(1.38786242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181881006344433-0.18191530445449)×R²
    abs(-2.42445664--2.42464838)×3.42981100571738e-05×R²
    0.000191739999999996×3.42981100571738e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.42981100571738e-05×40589641000000     		ar = 49377.9100802395m²