Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3739 / 3694
↖ ↑ ↗
← S 80.844901°
E148.623047°		 ← 1 554.96 m → S 80.844901°
E148.710937°		 →
↑
1 553.82 m
↓
↑
1 553.82 m
↓
S 80.858875°
E148.623047°		 ← 1 552.60 m →
2 414 298 m²		 S 80.858875°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9129638671875 y=0.9019775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9129638671875 × 212)
    floor (0.9129638671875 × 4096)
    floor (3739.5)     		tx = 3739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9019775390625 × 212)
    floor (0.9019775390625 × 4096)
    floor (3694.5)     		ty = 3694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3739 / 3694 ti = "12/3739/3694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3739/3694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3739 ÷ 212
    3739 ÷ 4096     		x = 0.912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3694 ÷ 212
    3694 ÷ 4096     		y = 0.90185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912841796875 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59396151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90185546875 × 2 - 1) × π
    -0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59396151} λ = 2.59396151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5249323767876))-π/2
    2×atan(0.0800637267700641)-π/2
    2×0.07989330690377-π/2
    0.15978661380754-1.57079632675     		φ = -1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59396151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3739 KachelY 3694 2.59396151 -1.41100971 148.623047 -80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 3740 KachelY 3694 2.59549549 -1.41100971 148.710937 -80.844901
    Unten links KachelX 3739 KachelY + 1 3695 2.59396151 -1.41125360 148.623047 -80.858875
    Unten rechts KachelX + 1 3740 KachelY + 1 3695 2.59549549 -1.41125360 148.710937 -80.858875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41100971--1.41125360) × R
    0.000243889999999913 × 6371000     		dl = 1553.82318999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41100971--1.41125360) × R
    0.000243889999999913 × 6371000     		dr = 1553.82318999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59396151-2.59549549) × cos(-1.41100971) × R
    0.0015339799999996 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 1554.95590466958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59396151-2.59549549) × cos(-1.41125360) × R
    0.0015339799999996 × 0.158866757389322 × 6371000     		du = 1552.60268797356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41100971)-sin(-1.41125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.158866757389322)×R²
    abs(2.59549549-2.59396151)×0.000240787877560517×R²
    0.0015339799999996×0.000240787877560517×6371000²
    0.0015339799999996×0.000240787877560517×40589641000000     		ar = 2414298.31473472m²