Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3739 / 3645
↖ ↑ ↗
← S 80.133635°
E148.623047°		 ← 1 674.61 m → S 80.133635°
E148.710937°		 →
↑
1 673.34 m
↓
↑
1 673.34 m
↓
S 80.148684°
E148.623047°		 ← 1 672.08 m →
2 800 079 m²		 S 80.148684°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9129638671875 y=0.8900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9129638671875 × 212)
    floor (0.9129638671875 × 4096)
    floor (3739.5)     		tx = 3739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8900146484375 × 212)
    floor (0.8900146484375 × 4096)
    floor (3645.5)     		ty = 3645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3739 / 3645 ti = "12/3739/3645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3739/3645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3739 ÷ 212
    3739 ÷ 4096     		x = 0.912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3645 ÷ 212
    3645 ÷ 4096     		y = 0.889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912841796875 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59396151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.77978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.44976731818335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59396151} λ = 2.59396151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44976731818335))-π/2
    2×atan(0.0863136677840268)-π/2
    2×0.0861002738270266-π/2
    0.172200547654053-1.57079632675     		φ = -1.39859578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59396151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39859578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.133635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3739 KachelY 3645 2.59396151 -1.39859578 148.623047 -80.133635
    Oben rechts KachelX + 1 3740 KachelY 3645 2.59549549 -1.39859578 148.710937 -80.133635
    Unten links KachelX 3739 KachelY + 1 3646 2.59396151 -1.39885843 148.623047 -80.148684
    Unten rechts KachelX + 1 3740 KachelY + 1 3646 2.59549549 -1.39885843 148.710937 -80.148684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39859578--1.39885843) × R
    0.000262650000000031 × 6371000     		dl = 1673.3431500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39859578--1.39885843) × R
    0.000262650000000031 × 6371000     		dr = 1673.3431500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59396151-2.59549549) × cos(-1.39859578) × R
    0.0015339799999996 × 0.171350763091867 × 6371000     		do = 1674.60870816914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59396151-2.59549549) × cos(-1.39885843) × R
    0.0015339799999996 × 0.171091991755112 × 6371000     		du = 1672.07973936775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39859578)-sin(-1.39885843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171350763091867-0.171091991755112)×R²
    abs(2.59549549-2.59396151)×0.000258771336755004×R²
    0.0015339799999996×0.000258771336755004×6371000²
    0.0015339799999996×0.000258771336755004×40589641000000     		ar = 2800079.11052994m²