Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37383 / 27314
↖ ↑ ↗
← N 28.680950°
E 25.350952°		 ← 535.90 m → N 28.680950°
E 25.356445°		 →
↑
535.93 m
↓
↑
535.93 m
↓
N 28.676130°
E 25.350952°		 ← 535.93 m →
287 213 m²		 N 28.676130°
E 25.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570426940917969 y=0.416786193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570426940917969 × 216)
    floor (0.570426940917969 × 65536)
    floor (37383.5)     		tx = 37383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416786193847656 × 216)
    floor (0.416786193847656 × 65536)
    floor (27314.5)     		ty = 27314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37383 / 27314 ti = "16/37383/27314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37383/27314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37383 ÷ 216
    37383 ÷ 65536     		x = 0.570419311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27314 ÷ 216
    27314 ÷ 65536     		y = 0.416778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570419311523438 × 2 - 1) × π
    0.140838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44245758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416778564453125 × 2 - 1) × π
    0.16644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.522895701055572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44245758} λ = 0.44245758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522895701055572))-π/2
    2×atan(1.68690535772343)-π/2
    2×1.03568666607202-π/2
    2.07137333214404-1.57079632675     		φ = 0.50057701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44245758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.350952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50057701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.680950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37383 KachelY 27314 0.44245758 0.50057701 25.350952 28.680950
    Oben rechts KachelX + 1 37384 KachelY 27314 0.44255346 0.50057701 25.356445 28.680950
    Unten links KachelX 37383 KachelY + 1 27315 0.44245758 0.50049289 25.350952 28.676130
    Unten rechts KachelX + 1 37384 KachelY + 1 27315 0.44255346 0.50049289 25.356445 28.676130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50057701-0.50049289) × R
    8.41200000000208e-05 × 6371000     		dl = 535.928520000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50057701-0.50049289) × R
    8.41200000000208e-05 × 6371000     		dr = 535.928520000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44245758-0.44255346) × cos(0.50057701) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877305782484291 × 6371000     		do = 535.903535643046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44245758-0.44255346) × cos(0.50049289) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877346151246024 × 6371000     		du = 535.928194960897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50057701)-sin(0.50049289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877305782484291-0.877346151246024)×R²
    abs(0.44255346-0.44245758)×4.03687617330784e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.03687617330784e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.03687617330784e-05×40589641000000     		ar = 287212.596705365m²