Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37381 / 27313
↖ ↑ ↗
← N 28.685769°
E 25.339966°		 ← 535.82 m → N 28.685769°
E 25.345459°		 →
↑
535.80 m
↓
↑
535.80 m
↓
N 28.680950°
E 25.339966°		 ← 535.85 m →
287 101 m²		 N 28.680950°
E 25.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570396423339844 y=0.416770935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570396423339844 × 216)
    floor (0.570396423339844 × 65536)
    floor (37381.5)     		tx = 37381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416770935058594 × 216)
    floor (0.416770935058594 × 65536)
    floor (27313.5)     		ty = 27313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37381 / 27313 ti = "16/37381/27313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37381/27313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37381 ÷ 216
    37381 ÷ 65536     		x = 0.570388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27313 ÷ 216
    27313 ÷ 65536     		y = 0.416763305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570388793945312 × 2 - 1) × π
    0.140777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44226584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416763305664062 × 2 - 1) × π
    0.166473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.522991574854813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44226584} λ = 0.44226584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522991574854813))-π/2
    2×atan(1.68706709550211)-π/2
    2×1.03572872042378-π/2
    2.07145744084756-1.57079632675     		φ = 0.50066111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44226584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.339966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50066111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.685769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37381 KachelY 27313 0.44226584 0.50066111 25.339966 28.685769
    Oben rechts KachelX + 1 37382 KachelY 27313 0.44236171 0.50066111 25.345459 28.685769
    Unten links KachelX 37381 KachelY + 1 27314 0.44226584 0.50057701 25.339966 28.680950
    Unten rechts KachelX + 1 37382 KachelY + 1 27314 0.44236171 0.50057701 25.345459 28.680950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50066111-0.50057701) × R
    8.41000000000314e-05 × 6371000     		dl = 535.8011000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50066111-0.50057701) × R
    8.41000000000314e-05 × 6371000     		dr = 535.8011000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44226584-0.44236171) × cos(0.50066111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877265417114702 × 6371000     		do = 535.822987817597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44226584-0.44236171) × cos(0.50057701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877305782484291 × 6371000     		du = 535.847642491673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50066111)-sin(0.50057701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877265417114702-0.877305782484291)×R²
    abs(0.44236171-0.44226584)×4.03653695894013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03653695894013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03653695894013e-05×40589641000000     		ar = 287101.151447998m²