Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3738 / 5171
↖ ↑ ↗
← S 42.650122°
W 15.732422°		 ← 3 594.04 m → S 42.650122°
W 15.688477°		 →
↑
3 593.12 m
↓
↑
3 593.12 m
↓
S 42.682435°
W 15.732422°		 ← 3 592.17 m →
12 910 445 m²		 S 42.682435°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45635986328125 y=0.63128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45635986328125 × 213)
    floor (0.45635986328125 × 8192)
    floor (3738.5)     		tx = 3738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63128662109375 × 213)
    floor (0.63128662109375 × 8192)
    floor (5171.5)     		ty = 5171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3738 / 5171 ti = "13/3738/5171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3738/5171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3738 ÷ 213
    3738 ÷ 8192     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5171 ÷ 213
    5171 ÷ 8192     		y = 0.6312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824514673464966))-π/2
    2×atan(0.438447731155063)-π/2
    2×0.413205637393427-π/2
    0.826411274786854-1.57079632675     		φ = -0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3738 KachelY 5171 -0.27458256 -0.74438505 -15.732422 -42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 3739 KachelY 5171 -0.27381557 -0.74438505 -15.688477 -42.650122
    Unten links KachelX 3738 KachelY + 1 5172 -0.27458256 -0.74494903 -15.732422 -42.682435
    Unten rechts KachelX + 1 3739 KachelY + 1 5172 -0.27381557 -0.74494903 -15.688477 -42.682435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74438505--0.74494903) × R
    0.000563980000000019 × 6371000     		dl = 3593.11658000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74438505--0.74494903) × R
    0.000563980000000019 × 6371000     		dr = 3593.11658000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27381557) × cos(-0.74438505) × R
    0.000766989999999967 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 3594.03869398288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27381557) × cos(-0.74494903) × R
    0.000766989999999967 × 0.735122457649648 × 6371000     		du = 3592.17095663316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74438505)-sin(-0.74494903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735122457649648)×R²
    abs(-0.27381557--0.27458256)×0.000382224478552406×R²
    0.000766989999999967×0.000382224478552406×6371000²
    0.000766989999999967×0.000382224478552406×40589641000000     		ar = 12910444.8636981m²