Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3738 / 3925
↖ ↑ ↗
← N 79.518659°
W138.933105°		 ← 222.23 m → N 79.518659°
W138.922119°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 79.516660°
W138.933105°		 ← 222.28 m →
49 404 m²		 N 79.516660°
W138.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114089965820312 y=0.119796752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114089965820312 × 215)
    floor (0.114089965820312 × 32768)
    floor (3738.5)     		tx = 3738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119796752929688 × 215)
    floor (0.119796752929688 × 32768)
    floor (3925.5)     		ty = 3925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3738 / 3925 ti = "15/3738/3925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3738/3925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3738 ÷ 215
    3738 ÷ 32768     		x = 0.11407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3925 ÷ 215
    3925 ÷ 32768     		y = 0.119781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.7718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42484013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119781494140625 × 2 - 1) × π
    0.76043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38898332946512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42484013} λ = -2.42484013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38898332946512))-π/2
    2×atan(10.9024041536038)-π/2
    2×1.4793293719205-π/2
    2.95865874384099-1.57079632675     		φ = 1.38786242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42484013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38786242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.518659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3738 KachelY 3925 -2.42484013 1.38786242 -138.933105 79.518659
    Oben rechts KachelX + 1 3739 KachelY 3925 -2.42464838 1.38786242 -138.922119 79.518659
    Unten links KachelX 3738 KachelY + 1 3926 -2.42484013 1.38782753 -138.933105 79.516660
    Unten rechts KachelX + 1 3739 KachelY + 1 3926 -2.42464838 1.38782753 -138.922119 79.516660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38786242-1.38782753) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38786242-1.38782753) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42484013--2.42464838) × cos(1.38786242) × R
    0.000191750000000379 × 0.18191530445449 × 6371000     		do = 222.234876097745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42484013--2.42464838) × cos(1.38782753) × R
    0.000191750000000379 × 0.181949612176305 × 6371000     		du = 222.276787757292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38786242)-sin(1.38782753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18191530445449-0.181949612176305)×R²
    abs(-2.42464838--2.42484013)×3.43077218151466e-05×R²
    0.000191750000000379×3.43077218151466e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.43077218151466e-05×40589641000000     		ar = 49403.9575779838m²