Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3738 / 3692
↖ ↑ ↗
← S 80.816891°
E148.535156°		 ← 1 559.67 m → S 80.816891°
E148.623047°		 →
↑
1 558.47 m
↓
↑
1 558.47 m
↓
S 80.830907°
E148.535156°		 ← 1 557.31 m →
2 428 870 m²		 S 80.830907°
E148.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9127197265625 y=0.9014892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9127197265625 × 212)
    floor (0.9127197265625 × 4096)
    floor (3738.5)     		tx = 3738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9014892578125 × 212)
    floor (0.9014892578125 × 4096)
    floor (3692.5)     		ty = 3692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3738 / 3692 ti = "12/3738/3692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3738/3692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3738 ÷ 212
    3738 ÷ 4096     		x = 0.91259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3692 ÷ 212
    3692 ÷ 4096     		y = 0.9013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    0.8251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59242753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9013671875 × 2 - 1) × π
    -0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59242753} λ = 2.59242753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52186441521191))-π/2
    2×atan(0.0803097363884675)-π/2
    2×0.0801377448067855-π/2
    0.160275489613571-1.57079632675     		φ = -1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59242753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3738 KachelY 3692 2.59242753 -1.41052084 148.535156 -80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 3739 KachelY 3692 2.59396151 -1.41052084 148.623047 -80.816891
    Unten links KachelX 3738 KachelY + 1 3693 2.59242753 -1.41076546 148.535156 -80.830907
    Unten rechts KachelX + 1 3739 KachelY + 1 3693 2.59396151 -1.41076546 148.623047 -80.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41052084--1.41076546) × R
    0.000244619999999918 × 6371000     		dl = 1558.47401999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41052084--1.41076546) × R
    0.000244619999999918 × 6371000     		dr = 1558.47401999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59242753-2.59396151) × cos(-1.41052084) × R
    0.00153398000000005 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 1559.6725764712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59242753-2.59396151) × cos(-1.41076546) × R
    0.00153398000000005 × 0.159348679080418 × 6371000     		du = 1557.31250219369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41052084)-sin(-1.41076546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159348679080418)×R²
    abs(2.59396151-2.59242753)×0.000241489564953734×R²
    0.00153398000000005×0.000241489564953734×6371000²
    0.00153398000000005×0.000241489564953734×40589641000000     		ar = 2428870.1450223m²