Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3738 / 1717
↖ ↑ ↗
← N 71.677483°
W 15.732422°		 ← 1 536.15 m → N 71.677483°
W 15.688477°		 →
↑
1 536.75 m
↓
↑
1 536.75 m
↓
N 71.663663°
W 15.732422°		 ← 1 537.26 m →
2 361 529 m²		 N 71.663663°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45635986328125 y=0.20965576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45635986328125 × 213)
    floor (0.45635986328125 × 8192)
    floor (3738.5)     		tx = 3738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20965576171875 × 213)
    floor (0.20965576171875 × 8192)
    floor (1717.5)     		ty = 1717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3738 / 1717 ti = "13/3738/1717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3738/1717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3738 ÷ 213
    3738 ÷ 8192     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1717 ÷ 213
    1717 ÷ 8192     		y = 0.2095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2095947265625 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82467014713782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82467014713782))-π/2
    2×atan(6.20074934681826)-π/2
    2×1.41090220106459-π/2
    2.82180440212919-1.57079632675     		φ = 1.25100808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25100808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.677483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3738 KachelY 1717 -0.27458256 1.25100808 -15.732422 71.677483
    Oben rechts KachelX + 1 3739 KachelY 1717 -0.27381557 1.25100808 -15.688477 71.677483
    Unten links KachelX 3738 KachelY + 1 1718 -0.27458256 1.25076687 -15.732422 71.663663
    Unten rechts KachelX + 1 3739 KachelY + 1 1718 -0.27381557 1.25076687 -15.688477 71.663663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25100808-1.25076687) × R
    0.000241209999999992 × 6371000     		dl = 1536.74890999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25100808-1.25076687) × R
    0.000241209999999992 × 6371000     		dr = 1536.74890999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27381557) × cos(1.25100808) × R
    0.000766989999999967 × 0.314365549922952 × 6371000     		do = 1536.1451503056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27381557) × cos(1.25076687) × R
    0.000766989999999967 × 0.314594521912658 × 6371000     		du = 1537.26402039689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25100808)-sin(1.25076687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314365549922952-0.314594521912658)×R²
    abs(-0.27381557--0.27458256)×0.00022897198970534×R²
    0.000766989999999967×0.00022897198970534×6371000²
    0.000766989999999967×0.00022897198970534×40589641000000     		ar = 2361529.10797936m²