Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37379 / 27366
↖ ↑ ↗
← N 28.430053°
E 25.328980°		 ← 537.13 m → N 28.430053°
E 25.334473°		 →
↑
537.14 m
↓
↑
537.14 m
↓
N 28.425222°
E 25.328980°		 ← 537.15 m →
288 518 m²		 N 28.425222°
E 25.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570365905761719 y=0.417579650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570365905761719 × 216)
    floor (0.570365905761719 × 65536)
    floor (37379.5)     		tx = 37379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417579650878906 × 216)
    floor (0.417579650878906 × 65536)
    floor (27366.5)     		ty = 27366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37379 / 27366 ti = "16/37379/27366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37379/27366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37379 ÷ 216
    37379 ÷ 65536     		x = 0.570358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27366 ÷ 216
    27366 ÷ 65536     		y = 0.417572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570358276367188 × 2 - 1) × π
    0.140716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44207409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417572021484375 × 2 - 1) × π
    0.16485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.517910263495087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44207409} λ = 0.44207409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517910263495087))-π/2
    2×atan(1.67851632526629)-π/2
    2×1.03349717813464-π/2
    2.06699435626927-1.57079632675     		φ = 0.49619803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44207409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.328980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49619803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.430053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37379 KachelY 27366 0.44207409 0.49619803 25.328980 28.430053
    Oben rechts KachelX + 1 37380 KachelY 27366 0.44216996 0.49619803 25.334473 28.430053
    Unten links KachelX 37379 KachelY + 1 27367 0.44207409 0.49611372 25.328980 28.425222
    Unten rechts KachelX + 1 37380 KachelY + 1 27367 0.44216996 0.49611372 25.334473 28.425222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49619803-0.49611372) × R
    8.43100000000319e-05 × 6371000     		dl = 537.139010000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49619803-0.49611372) × R
    8.43100000000319e-05 × 6371000     		dr = 537.139010000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44207409-0.44216996) × cos(0.49619803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879398976304311 × 6371000     		do = 537.126139677181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44207409-0.44216996) × cos(0.49611372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879439111950598 × 6371000     		du = 537.150654039075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49619803)-sin(0.49611372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879398976304311-0.879439111950598)×R²
    abs(0.44216996-0.44207409)×4.01356462869096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01356462869096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01356462869096e-05×40589641000000     		ar = 288517.986892307m²