Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37376 / 27311
↖ ↑ ↗
← N 28.695406°
E 25.312500°		 ← 535.77 m → N 28.695406°
E 25.317993°		 →
↑
535.80 m
↓
↑
535.80 m
↓
N 28.690588°
E 25.312500°		 ← 535.80 m →
287 075 m²		 N 28.690588°
E 25.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570320129394531 y=0.416740417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570320129394531 × 216)
    floor (0.570320129394531 × 65536)
    floor (37376.5)     		tx = 37376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416740417480469 × 216)
    floor (0.416740417480469 × 65536)
    floor (27311.5)     		ty = 27311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37376 / 27311 ti = "16/37376/27311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37376/27311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37376 ÷ 216
    37376 ÷ 65536     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27311 ÷ 216
    27311 ÷ 65536     		y = 0.416732788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416732788085938 × 2 - 1) × π
    0.166534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.523183322453293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523183322453293))-π/2
    2×atan(1.68739061758245)-π/2
    2×1.03581282332121-π/2
    2.07162564664242-1.57079632675     		φ = 0.50082932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50082932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.695406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37376 KachelY 27311 0.44178647 0.50082932 25.312500 28.695406
    Oben rechts KachelX + 1 37377 KachelY 27311 0.44188234 0.50082932 25.317993 28.695406
    Unten links KachelX 37376 KachelY + 1 27312 0.44178647 0.50074522 25.312500 28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 37377 KachelY + 1 27312 0.44188234 0.50074522 25.317993 28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50082932-0.50074522) × R
    8.41000000000314e-05 × 6371000     		dl = 535.8011000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50082932-0.50074522) × R
    8.41000000000314e-05 × 6371000     		dr = 535.8011000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44188234) × cos(0.50082932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877184662960082 × 6371000     		do = 535.773664167578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44188234) × cos(0.50074522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 535.79832642148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50082932)-sin(0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877184662960082-0.877225040739587)×R²
    abs(0.44188234-0.44178647)×4.03777795048299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03777795048299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03777795048299e-05×40589641000000     		ar = 287074.725812717m²