Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37371 / 27355
↖ ↑ ↗
← N 28.483177°
E 25.285034°		 ← 536.86 m → N 28.483177°
E 25.290527°		 →
↑
536.88 m
↓
↑
536.88 m
↓
N 28.478349°
E 25.285034°		 ← 536.88 m →
288 236 m²		 N 28.478349°
E 25.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570243835449219 y=0.417411804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570243835449219 × 216)
    floor (0.570243835449219 × 65536)
    floor (37371.5)     		tx = 37371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417411804199219 × 216)
    floor (0.417411804199219 × 65536)
    floor (27355.5)     		ty = 27355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37371 / 27355 ti = "16/37371/27355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37371/27355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37371 ÷ 216
    37371 ÷ 65536     		x = 0.570236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27355 ÷ 216
    27355 ÷ 65536     		y = 0.417404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570236206054688 × 2 - 1) × π
    0.140472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44130710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417404174804688 × 2 - 1) × π
    0.165191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518964875286728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44130710} λ = 0.44130710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518964875286728))-π/2
    2×atan(1.68028744213159)-π/2
    2×1.03396077394122-π/2
    2.06792154788243-1.57079632675     		φ = 0.49712522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44130710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.285034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49712522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.483177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37371 KachelY 27355 0.44130710 0.49712522 25.285034 28.483177
    Oben rechts KachelX + 1 37372 KachelY 27355 0.44140297 0.49712522 25.290527 28.483177
    Unten links KachelX 37371 KachelY + 1 27356 0.44130710 0.49704095 25.285034 28.478349
    Unten rechts KachelX + 1 37372 KachelY + 1 27356 0.44140297 0.49704095 25.290527 28.478349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49712522-0.49704095) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dl = 536.884169999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49712522-0.49704095) × R
    8.42699999999974e-05 × 6371000     		dr = 536.884169999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44130710-0.44140297) × cos(0.49712522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878957176615225 × 6371000     		do = 536.856293830298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44130710-0.44140297) × cos(0.49704095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878997361916594 × 6371000     		du = 536.880838520907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49712522)-sin(0.49704095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878957176615225-0.878997361916594)×R²
    abs(0.44140297-0.44130710)×4.01853013685116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01853013685116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01853013685116e-05×40589641000000     		ar = 288236.234720834m²