Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37370 / 27402
↖ ↑ ↗
← N 28.256006°
E 25.279541°		 ← 538.06 m → N 28.256006°
E 25.285034°		 →
↑
538.03 m
↓
↑
538.03 m
↓
N 28.251167°
E 25.279541°		 ← 538.09 m →
289 501 m²		 N 28.251167°
E 25.285034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570228576660156 y=0.418128967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570228576660156 × 216)
    floor (0.570228576660156 × 65536)
    floor (37370.5)     		tx = 37370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418128967285156 × 216)
    floor (0.418128967285156 × 65536)
    floor (27402.5)     		ty = 27402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37370 / 27402 ti = "16/37370/27402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37370/27402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37370 ÷ 216
    37370 ÷ 65536     		x = 0.570220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27402 ÷ 216
    27402 ÷ 65536     		y = 0.418121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570220947265625 × 2 - 1) × π
    0.14044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44121122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    0.16375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.514458806722443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44121122} λ = 0.44121122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514458806722443))-π/2
    2×atan(1.67273298494321)-π/2
    2×1.03197832915496-π/2
    2.06395665830991-1.57079632675     		φ = 0.49316033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44121122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49316033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.256006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37370 KachelY 27402 0.44121122 0.49316033 25.279541 28.256006
    Oben rechts KachelX + 1 37371 KachelY 27402 0.44130710 0.49316033 25.285034 28.256006
    Unten links KachelX 37370 KachelY + 1 27403 0.44121122 0.49307588 25.279541 28.251167
    Unten rechts KachelX + 1 37371 KachelY + 1 27403 0.44130710 0.49307588 25.285034 28.251167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49316033-0.49307588) × R
    8.44499999999582e-05 × 6371000     		dl = 538.030949999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49316033-0.49307588) × R
    8.44499999999582e-05 × 6371000     		dr = 538.030949999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44121122-0.44130710) × cos(0.49316033) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880841121744818 × 6371000     		do = 538.063102862641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44121122-0.44130710) × cos(0.49307588) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880881098246866 × 6371000     		du = 538.087522568082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49316033)-sin(0.49307588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880841121744818-0.880881098246866)×R²
    abs(0.44130710-0.44121122)×3.99765020476783e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.99765020476783e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.99765020476783e-05×40589641000000     		ar = 289501.171843844m²