Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3737 / 1719
↖ ↑ ↗
← N 71.649833°
W 15.776367°		 ← 1 538.38 m → N 71.649833°
W 15.732422°		 →
↑
1 538.92 m
↓
↑
1 538.92 m
↓
N 71.635993°
W 15.776367°		 ← 1 539.50 m →
2 368 304 m²		 N 71.635993°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45623779296875 y=0.20989990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45623779296875 × 213)
    floor (0.45623779296875 × 8192)
    floor (3737.5)     		tx = 3737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20989990234375 × 213)
    floor (0.20989990234375 × 8192)
    floor (1719.5)     		ty = 1719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3737 / 1719 ti = "13/3737/1719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3737/1719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3737 ÷ 213
    3737 ÷ 8192     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1719 ÷ 213
    1719 ÷ 8192     		y = 0.2098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2098388671875 × 2 - 1) × π
    0.580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82313616634998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82313616634998))-π/2
    2×atan(6.19124480820359)-π/2
    2×1.41066091007092-π/2
    2.82132182014183-1.57079632675     		φ = 1.25052549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25052549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.649833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3737 KachelY 1719 -0.27534955 1.25052549 -15.776367 71.649833
    Oben rechts KachelX + 1 3738 KachelY 1719 -0.27458256 1.25052549 -15.732422 71.649833
    Unten links KachelX 3737 KachelY + 1 1720 -0.27534955 1.25028394 -15.776367 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 3738 KachelY + 1 1720 -0.27458256 1.25028394 -15.732422 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25052549-1.25028394) × R
    0.000241549999999924 × 6371000     		dl = 1538.91504999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25052549-1.25028394) × R
    0.000241549999999924 × 6371000     		dr = 1538.91504999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27458256) × cos(1.25052549) × R
    0.000766990000000023 × 0.314823636954078 × 6371000     		do = 1538.38358950954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27458256) × cos(1.25028394) × R
    0.000766990000000023 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 1539.50385738878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25052549)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314823636954078-0.315052894995122)×R²
    abs(-0.27458256--0.27534955)×0.0002292580410439×R²
    0.000766990000000023×0.0002292580410439×6371000²
    0.000766990000000023×0.0002292580410439×40589641000000     		ar = 2368303.6686327m²