Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3737 / 1718
↖ ↑ ↗
← N 71.663663°
W 15.776367°		 ← 1 537.26 m → N 71.663663°
W 15.732422°		 →
↑
1 537.83 m
↓
↑
1 537.83 m
↓
N 71.649833°
W 15.776367°		 ← 1 538.38 m →
2 364 915 m²		 N 71.649833°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45623779296875 y=0.20977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45623779296875 × 213)
    floor (0.45623779296875 × 8192)
    floor (3737.5)     		tx = 3737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20977783203125 × 213)
    floor (0.20977783203125 × 8192)
    floor (1718.5)     		ty = 1718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3737 / 1718 ti = "13/3737/1718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3737/1718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3737 ÷ 213
    3737 ÷ 8192     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1718 ÷ 213
    1718 ÷ 8192     		y = 0.209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209716796875 × 2 - 1) × π
    0.58056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8239031567439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8239031567439))-π/2
    2×atan(6.19599525503856)-π/2
    2×1.41078159948557-π/2
    2.82156319897114-1.57079632675     		φ = 1.25076687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25076687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.663663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3737 KachelY 1718 -0.27534955 1.25076687 -15.776367 71.663663
    Oben rechts KachelX + 1 3738 KachelY 1718 -0.27458256 1.25076687 -15.732422 71.663663
    Unten links KachelX 3737 KachelY + 1 1719 -0.27534955 1.25052549 -15.776367 71.649833
    Unten rechts KachelX + 1 3738 KachelY + 1 1719 -0.27458256 1.25052549 -15.732422 71.649833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25076687-1.25052549) × R
    0.000241380000000069 × 6371000     		dl = 1537.83198000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25076687-1.25052549) × R
    0.000241380000000069 × 6371000     		dr = 1537.83198000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27458256) × cos(1.25076687) × R
    0.000766990000000023 × 0.314594521912658 × 6371000     		do = 1537.26402039701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27458256) × cos(1.25052549) × R
    0.000766990000000023 × 0.314823636954078 × 6371000     		du = 1538.38358950954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25076687)-sin(1.25052549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314594521912658-0.314823636954078)×R²
    abs(-0.27458256--0.27534955)×0.000229115041420314×R²
    0.000766990000000023×0.000229115041420314×6371000²
    0.000766990000000023×0.000229115041420314×40589641000000     		ar = 2364914.63834747m²