Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37369 / 27401
↖ ↑ ↗
← N 28.260844°
E 25.274048°		 ← 537.98 m → N 28.260844°
E 25.279541°		 →
↑
538.03 m
↓
↑
538.03 m
↓
N 28.256006°
E 25.274048°		 ← 538.01 m →
289 458 m²		 N 28.256006°
E 25.279541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570213317871094 y=0.418113708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570213317871094 × 216)
    floor (0.570213317871094 × 65536)
    floor (37369.5)     		tx = 37369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418113708496094 × 216)
    floor (0.418113708496094 × 65536)
    floor (27401.5)     		ty = 27401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37369 / 27401 ti = "16/37369/27401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37369/27401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37369 ÷ 216
    37369 ÷ 65536     		x = 0.570205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27401 ÷ 216
    27401 ÷ 65536     		y = 0.418106079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570205688476562 × 2 - 1) × π
    0.140411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44111535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418106079101562 × 2 - 1) × π
    0.163787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.514554680521683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44111535} λ = 0.44111535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514554680521683))-π/2
    2×atan(1.67289336389754)-π/2
    2×1.03202055298907-π/2
    2.06404110597815-1.57079632675     		φ = 0.49324478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44111535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.274048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49324478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.260844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37369 KachelY 27401 0.44111535 0.49324478 25.274048 28.260844
    Oben rechts KachelX + 1 37370 KachelY 27401 0.44121122 0.49324478 25.279541 28.260844
    Unten links KachelX 37369 KachelY + 1 27402 0.44111535 0.49316033 25.274048 28.256006
    Unten rechts KachelX + 1 37370 KachelY + 1 27402 0.44121122 0.49316033 25.279541 28.256006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49324478-0.49316033) × R
    8.44500000000137e-05 × 6371000     		dl = 538.030950000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49324478-0.49316033) × R
    8.44500000000137e-05 × 6371000     		dr = 538.030950000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44111535-0.44121122) × cos(0.49324478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880801138960786 × 6371000     		do = 537.982563479307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44111535-0.44121122) × cos(0.49316033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880841121744818 × 6371000     		du = 538.006984474804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49324478)-sin(0.49316033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880801138960786-0.880841121744818)×R²
    abs(0.44121122-0.44111535)×3.99827840327216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99827840327216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99827840327216e-05×40589641000000     		ar = 289457.8395099m²