Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37369 / 27079
↖ ↑ ↗
← N 29.807284°
E 25.274048°		 ← 529.98 m → N 29.807284°
E 25.279541°		 →
↑
530 m
↓
↑
530 m
↓
N 29.802518°
E 25.274048°		 ← 530.01 m →
280 899 m²		 N 29.802518°
E 25.279541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570213317871094 y=0.413200378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570213317871094 × 216)
    floor (0.570213317871094 × 65536)
    floor (37369.5)     		tx = 37369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413200378417969 × 216)
    floor (0.413200378417969 × 65536)
    floor (27079.5)     		ty = 27079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37369 / 27079 ti = "16/37369/27079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37369/27079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37369 ÷ 216
    37369 ÷ 65536     		x = 0.570205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27079 ÷ 216
    27079 ÷ 65536     		y = 0.413192749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570205688476562 × 2 - 1) × π
    0.140411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44111535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413192749023438 × 2 - 1) × π
    0.173614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.545426043876999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44111535} λ = 0.44111535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545426043876999))-π/2
    2×atan(1.72534329775995)-π/2
    2×1.04551579075813-π/2
    2.09103158151626-1.57079632675     		φ = 0.52023525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44111535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.274048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52023525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.807284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37369 KachelY 27079 0.44111535 0.52023525 25.274048 29.807284
    Oben rechts KachelX + 1 37370 KachelY 27079 0.44121122 0.52023525 25.279541 29.807284
    Unten links KachelX 37369 KachelY + 1 27080 0.44111535 0.52015206 25.274048 29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 37370 KachelY + 1 27080 0.44121122 0.52015206 25.279541 29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52023525-0.52015206) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dl = 530.003490000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52023525-0.52015206) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dr = 530.003490000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44111535-0.44121122) × cos(0.52023525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867702264612632 × 6371000     		do = 529.981931226688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44111535-0.44121122) × cos(0.52015206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 530.007186958072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52023525)-sin(0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867702264612632-0.867743614051217)×R²
    abs(0.44121122-0.44111535)×4.13494385855806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13494385855806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13494385855806e-05×40589641000000     		ar = 280898.966162172m²