Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37368 / 27320
↖ ↑ ↗
← N 28.652031°
E 25.268555°		 ← 536 m → N 28.652031°
E 25.274048°		 →
↑
535.99 m
↓
↑
535.99 m
↓
N 28.647210°
E 25.268555°		 ← 536.02 m →
287 296 m²		 N 28.647210°
E 25.274048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570198059082031 y=0.416877746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570198059082031 × 216)
    floor (0.570198059082031 × 65536)
    floor (37368.5)     		tx = 37368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416877746582031 × 216)
    floor (0.416877746582031 × 65536)
    floor (27320.5)     		ty = 27320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37368 / 27320 ti = "16/37368/27320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37368/27320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37368 ÷ 216
    37368 ÷ 65536     		x = 0.5701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27320 ÷ 216
    27320 ÷ 65536     		y = 0.4168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5701904296875 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44101948} λ = 0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522320458260132))-π/2
    2×atan(1.68593525661839)-π/2
    2×1.03543429933194-π/2
    2.07086859866388-1.57079632675     		φ = 0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37368 KachelY 27320 0.44101948 0.50007227 25.268555 28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 37369 KachelY 27320 0.44111535 0.50007227 25.274048 28.652031
    Unten links KachelX 37368 KachelY + 1 27321 0.44101948 0.49998814 25.268555 28.647210
    Unten rechts KachelX + 1 37369 KachelY + 1 27321 0.44111535 0.49998814 25.274048 28.647210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50007227-0.49998814) × R
    8.41299999999601e-05 × 6371000     		dl = 535.992229999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50007227-0.49998814) × R
    8.41299999999601e-05 × 6371000     		dr = 535.992229999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44101948-0.44111535) × cos(0.50007227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 535.995531942357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44101948-0.44111535) × cos(0.49998814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87758824781554 × 6371000     		du = 536.02016886145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50007227)-sin(0.49998814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.87758824781554)×R²
    abs(0.44111535-0.44101948)×4.03363005985202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03363005985202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03363005985202e-05×40589641000000     		ar = 287296.043203729m²