Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37366 / 38358
↖ ↑ ↗
← S 29.334298°
E 25.257568°		 ← 532.47 m → S 29.334298°
E 25.263061°		 →
↑
532.49 m
↓
↑
532.49 m
↓
S 29.339087°
E 25.257568°		 ← 532.45 m →
283 527 m²		 S 29.339087°
E 25.263061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570167541503906 y=0.585304260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570167541503906 × 216)
    floor (0.570167541503906 × 65536)
    floor (37366.5)     		tx = 37366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585304260253906 × 216)
    floor (0.585304260253906 × 65536)
    floor (38358.5)     		ty = 38358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37366 / 38358 ti = "16/37366/38358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37366/38358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37366 ÷ 216
    37366 ÷ 65536     		x = 0.570159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38358 ÷ 216
    38358 ÷ 65536     		y = 0.585296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570159912109375 × 2 - 1) × π
    0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.17059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.535934537752228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44082773} λ = 0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535934537752228))-π/2
    2×atan(0.585122215753485)-π/2
    2×0.529408119463648-π/2
    1.0588162389273-1.57079632675     		φ = -0.51198009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51198009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.334298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37366 KachelY 38358 0.44082773 -0.51198009 25.257568 -29.334298
    Oben rechts KachelX + 1 37367 KachelY 38358 0.44092360 -0.51198009 25.263061 -29.334298
    Unten links KachelX 37366 KachelY + 1 38359 0.44082773 -0.51206367 25.257568 -29.339087
    Unten rechts KachelX + 1 37367 KachelY + 1 38359 0.44092360 -0.51206367 25.263061 -29.339087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51198009--0.51206367) × R
    8.3579999999972e-05 × 6371000     		dl = 532.488179999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51198009--0.51206367) × R
    8.3579999999972e-05 × 6371000     		dr = 532.488179999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44082773-0.44092360) × cos(-0.51198009) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.871776162483876 × 6371000     		do = 532.470218222981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44082773-0.44092360) × cos(-0.51206367) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.871735213229107 × 6371000     		du = 532.445206918977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51198009)-sin(-0.51206367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871776162483876-0.871735213229107)×R²
    abs(0.44092360-0.44082773)×4.09492547693846e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.09492547693846e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.09492547693846e-05×40589641000000     		ar = 283527.43845885m²