Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37366 / 27834
↖ ↑ ↗
← N 26.145576°
E 25.257568°		 ← 548.29 m → N 26.145576°
E 25.263061°		 →
↑
548.35 m
↓
↑
548.35 m
↓
N 26.140645°
E 25.257568°		 ← 548.31 m →
300 662 m²		 N 26.140645°
E 25.263061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570167541503906 y=0.424720764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570167541503906 × 216)
    floor (0.570167541503906 × 65536)
    floor (37366.5)     		tx = 37366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424720764160156 × 216)
    floor (0.424720764160156 × 65536)
    floor (27834.5)     		ty = 27834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37366 / 27834 ti = "16/37366/27834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37366/27834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37366 ÷ 216
    37366 ÷ 65536     		x = 0.570159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27834 ÷ 216
    27834 ÷ 65536     		y = 0.424713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570159912109375 × 2 - 1) × π
    0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424713134765625 × 2 - 1) × π
    0.15057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.473041325450714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44082773} λ = 0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473041325450714))-π/2
    2×atan(1.60486770348707)-π/2
    2×1.01356135821817-π/2
    2.02712271643634-1.57079632675     		φ = 0.45632639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45632639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.145576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37366 KachelY 27834 0.44082773 0.45632639 25.257568 26.145576
    Oben rechts KachelX + 1 37367 KachelY 27834 0.44092360 0.45632639 25.263061 26.145576
    Unten links KachelX 37366 KachelY + 1 27835 0.44082773 0.45624032 25.257568 26.140645
    Unten rechts KachelX + 1 37367 KachelY + 1 27835 0.44092360 0.45624032 25.263061 26.140645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45632639-0.45624032) × R
    8.60700000000492e-05 × 6371000     		dl = 548.351970000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45632639-0.45624032) × R
    8.60700000000492e-05 × 6371000     		dr = 548.351970000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44082773-0.44092360) × cos(0.45632639) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.897677339771186 × 6371000     		do = 548.29034053868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44082773-0.44092360) × cos(0.45624032) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.897715263481792 × 6371000     		du = 548.313503877312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45632639)-sin(0.45624032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897677339771186-0.897715263481792)×R²
    abs(0.44092360-0.44082773)×3.79237106062913e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.79237106062913e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.79237106062913e-05×40589641000000     		ar = 300662.439383268m²