Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37366 / 27389
↖ ↑ ↗
← N 28.318889°
E 25.257568°		 ← 537.69 m → N 28.318889°
E 25.263061°		 →
↑
537.71 m
↓
↑
537.71 m
↓
N 28.314053°
E 25.257568°		 ← 537.71 m →
289 129 m²		 N 28.314053°
E 25.263061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570167541503906 y=0.417930603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570167541503906 × 216)
    floor (0.570167541503906 × 65536)
    floor (37366.5)     		tx = 37366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417930603027344 × 216)
    floor (0.417930603027344 × 65536)
    floor (27389.5)     		ty = 27389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37366 / 27389 ti = "16/37366/27389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37366/27389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37366 ÷ 216
    37366 ÷ 65536     		x = 0.570159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27389 ÷ 216
    27389 ÷ 65536     		y = 0.417922973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570159912109375 × 2 - 1) × π
    0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417922973632812 × 2 - 1) × π
    0.164154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.515705166112564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44082773} λ = 0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515705166112564))-π/2
    2×atan(1.67481911116762)-π/2
    2×1.03252708943435-π/2
    2.0650541788687-1.57079632675     		φ = 0.49425785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49425785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.318889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37366 KachelY 27389 0.44082773 0.49425785 25.257568 28.318889
    Oben rechts KachelX + 1 37367 KachelY 27389 0.44092360 0.49425785 25.263061 28.318889
    Unten links KachelX 37366 KachelY + 1 27390 0.44082773 0.49417345 25.257568 28.314053
    Unten rechts KachelX + 1 37367 KachelY + 1 27390 0.44092360 0.49417345 25.263061 28.314053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49425785-0.49417345) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dl = 537.712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49425785-0.49417345) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dr = 537.712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44082773-0.44092360) × cos(0.49425785) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.880321012206347 × 6371000     		do = 537.689307929957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44082773-0.44092360) × cos(0.49417345) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.880361046612203 × 6371000     		du = 537.713760455433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49425785)-sin(0.49417345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880321012206347-0.880361046612203)×R²
    abs(0.44092360-0.44082773)×4.00344058568702e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.00344058568702e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.00344058568702e-05×40589641000000     		ar = 289128.782605859m²