Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37365 / 27346
↖ ↑ ↗
← N 28.526623°
E 25.252075°		 ← 536.64 m → N 28.526623°
E 25.257568°		 →
↑
536.69 m
↓
↑
536.69 m
↓
N 28.521796°
E 25.252075°		 ← 536.66 m →
288 015 m²		 N 28.521796°
E 25.257568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570152282714844 y=0.417274475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570152282714844 × 216)
    floor (0.570152282714844 × 65536)
    floor (37365.5)     		tx = 37365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417274475097656 × 216)
    floor (0.417274475097656 × 65536)
    floor (27346.5)     		ty = 27346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37365 / 27346 ti = "16/37365/27346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37365/27346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37365 ÷ 216
    37365 ÷ 65536     		x = 0.570144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27346 ÷ 216
    27346 ÷ 65536     		y = 0.417266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570144653320312 × 2 - 1) × π
    0.140289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44073186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417266845703125 × 2 - 1) × π
    0.16546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.519827739479889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44073186} λ = 0.44073186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519827739479889))-π/2
    2×atan(1.68173792769566)-π/2
    2×1.03433990623024-π/2
    2.06867981246048-1.57079632675     		φ = 0.49788349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44073186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49788349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.526623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37365 KachelY 27346 0.44073186 0.49788349 25.252075 28.526623
    Oben rechts KachelX + 1 37366 KachelY 27346 0.44082773 0.49788349 25.257568 28.526623
    Unten links KachelX 37365 KachelY + 1 27347 0.44073186 0.49779925 25.252075 28.521796
    Unten rechts KachelX + 1 37366 KachelY + 1 27347 0.44082773 0.49779925 25.257568 28.521796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49788349-0.49779925) × R
    8.42399999999577e-05 × 6371000     		dl = 536.69303999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49788349-0.49779925) × R
    8.42399999999577e-05 × 6371000     		dr = 536.69303999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44073186-0.44082773) × cos(0.49788349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878595304464414 × 6371000     		do = 536.635266746279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44073186-0.44082773) × cos(0.49779925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878635531595565 × 6371000     		du = 536.659836986008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49788349)-sin(0.49779925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878595304464414-0.878635531595565)×R²
    abs(0.44082773-0.44073186)×4.02271311511493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02271311511493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02271311511493e-05×40589641000000     		ar = 288015.006189874m²