Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37364 / 27340
↖ ↑ ↗
← N 28.555576°
E 25.246582°		 ← 536.54 m → N 28.555576°
E 25.252075°		 →
↑
536.50 m
↓
↑
536.50 m
↓
N 28.550751°
E 25.246582°		 ← 536.57 m →
287 863 m²		 N 28.550751°
E 25.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570137023925781 y=0.417182922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570137023925781 × 216)
    floor (0.570137023925781 × 65536)
    floor (37364.5)     		tx = 37364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417182922363281 × 216)
    floor (0.417182922363281 × 65536)
    floor (27340.5)     		ty = 27340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37364 / 27340 ti = "16/37364/27340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37364/27340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37364 ÷ 216
    37364 ÷ 65536     		x = 0.57012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27340 ÷ 216
    27340 ÷ 65536     		y = 0.41717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57012939453125 × 2 - 1) × π
    0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41717529296875 × 2 - 1) × π
    0.1656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52040298227533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44063598} λ = 0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52040298227533))-π/2
    2×atan(1.68270561362288)-π/2
    2×1.03459257432188-π/2
    2.06918514864376-1.57079632675     		φ = 0.49838882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49838882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.555576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37364 KachelY 27340 0.44063598 0.49838882 25.246582 28.555576
    Oben rechts KachelX + 1 37365 KachelY 27340 0.44073186 0.49838882 25.252075 28.555576
    Unten links KachelX 37364 KachelY + 1 27341 0.44063598 0.49830461 25.246582 28.550751
    Unten rechts KachelX + 1 37365 KachelY + 1 27341 0.44073186 0.49830461 25.252075 28.550751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49838882-0.49830461) × R
    8.4210000000029e-05 × 6371000     		dl = 536.501910000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49838882-0.49830461) × R
    8.4210000000029e-05 × 6371000     		dr = 536.501910000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44063598-0.44073186) × cos(0.49838882) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878353863336989 × 6371000     		do = 536.543757383076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44063598-0.44073186) × cos(0.49830461) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.878394113526672 × 6371000     		du = 536.568344271014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49838882)-sin(0.49830461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878353863336989-0.878394113526672)×R²
    abs(0.44073186-0.44063598)×4.02501896826779e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.02501896826779e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.02501896826779e-05×40589641000000     		ar = 287863.346260981m²