Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37360 / 26859
↖ ↑ ↗
← N 30.850364°
E 25.224610°		 ← 524.37 m → N 30.850364°
E 25.230103°		 →
↑
524.40 m
↓
↑
524.40 m
↓
N 30.845648°
E 25.224610°		 ← 524.39 m →
274 983 m²		 N 30.845648°
E 25.230103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570075988769531 y=0.409843444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570075988769531 × 216)
    floor (0.570075988769531 × 65536)
    floor (37360.5)     		tx = 37360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409843444824219 × 216)
    floor (0.409843444824219 × 65536)
    floor (26859.5)     		ty = 26859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37360 / 26859 ti = "16/37360/26859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37360/26859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37360 ÷ 216
    37360 ÷ 65536     		x = 0.570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26859 ÷ 216
    26859 ÷ 65536     		y = 0.409835815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570068359375 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409835815429688 × 2 - 1) × π
    0.180328369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.566518279709824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44025249} λ = 0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566518279709824))-π/2
    2×atan(1.76212114553353)-π/2
    2×1.0546183723804-π/2
    2.10923674476079-1.57079632675     		φ = 0.53844042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53844042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.850364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37360 KachelY 26859 0.44025249 0.53844042 25.224610 30.850364
    Oben rechts KachelX + 1 37361 KachelY 26859 0.44034836 0.53844042 25.230103 30.850364
    Unten links KachelX 37360 KachelY + 1 26860 0.44025249 0.53835811 25.224610 30.845648
    Unten rechts KachelX + 1 37361 KachelY + 1 26860 0.44034836 0.53835811 25.230103 30.845648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53844042-0.53835811) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dl = 524.39701000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53844042-0.53835811) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dr = 524.39701000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44025249-0.44034836) × cos(0.53844042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85850947415082 × 6371000     		do = 524.36708724044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44025249-0.44034836) × cos(0.53835811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85855167962142 × 6371000     		du = 524.39286582571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53844042)-sin(0.53835811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85850947415082-0.85855167962142)×R²
    abs(0.44034836-0.44025249)×4.22054705997432e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22054705997432e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22054705997432e-05×40589641000000     		ar = 274983.291953302m²