Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3736 / 3703
↖ ↑ ↗
← S 80.969904°
E148.359375°		 ← 1 533.90 m → S 80.969904°
E148.447266°		 →
↑
1 532.74 m
↓
↑
1 532.74 m
↓
S 80.983688°
E148.359375°		 ← 1 531.58 m →
2 349 286 m²		 S 80.983688°
E148.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9122314453125 y=0.9041748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9122314453125 × 212)
    floor (0.9122314453125 × 4096)
    floor (3736.5)     		tx = 3736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9041748046875 × 212)
    floor (0.9041748046875 × 4096)
    floor (3703.5)     		ty = 3703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3736 / 3703 ti = "12/3736/3703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3736/3703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3736 ÷ 212
    3736 ÷ 4096     		x = 0.912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3703 ÷ 212
    3703 ÷ 4096     		y = 0.904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912109375 × 2 - 1) × π
    0.82421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58935957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.80810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58935957} λ = 2.58935957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53873820387817))-π/2
    2×atan(0.0789659759172469)-π/2
    2×0.0788024532019963-π/2
    0.157604906403993-1.57079632675     		φ = -1.41319142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58935957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41319142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.969904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3736 KachelY 3703 2.58935957 -1.41319142 148.359375 -80.969904
    Oben rechts KachelX + 1 3737 KachelY 3703 2.59089355 -1.41319142 148.447266 -80.969904
    Unten links KachelX 3736 KachelY + 1 3704 2.58935957 -1.41343200 148.359375 -80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 3737 KachelY + 1 3704 2.59089355 -1.41343200 148.447266 -80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41319142--1.41343200) × R
    0.000240580000000046 × 6371000     		dl = 1532.73518000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41319142--1.41343200) × R
    0.000240580000000046 × 6371000     		dr = 1532.73518000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58935957-2.59089355) × cos(-1.41319142) × R
    0.00153398000000005 × 0.156953250554634 × 6371000     		do = 1533.90201135787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58935957-2.59089355) × cos(-1.41343200) × R
    0.00153398000000005 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 1531.57992238852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41319142)-sin(-1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156953250554634-0.156715647755291)×R²
    abs(2.59089355-2.58935957)×0.000237602799343067×R²
    0.00153398000000005×0.000237602799343067×6371000²
    0.00153398000000005×0.000237602799343067×40589641000000     		ar = 2349286.01308659m²