Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3736 / 3701
↖ ↑ ↗
← S 80.942273°
E148.359375°		 ← 1 538.56 m → S 80.942273°
E148.447266°		 →
↑
1 537.39 m
↓
↑
1 537.39 m
↓
S 80.956099°
E148.359375°		 ← 1 536.23 m →
2 363 565 m²		 S 80.956099°
E148.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9122314453125 y=0.9036865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9122314453125 × 212)
    floor (0.9122314453125 × 4096)
    floor (3736.5)     		tx = 3736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9036865234375 × 212)
    floor (0.9036865234375 × 4096)
    floor (3701.5)     		ty = 3701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3736 / 3701 ti = "12/3736/3701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3736/3701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3736 ÷ 212
    3736 ÷ 4096     		x = 0.912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3701 ÷ 212
    3701 ÷ 4096     		y = 0.903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912109375 × 2 - 1) × π
    0.82421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58935957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.80712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53567024230249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58935957} λ = 2.58935957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53567024230249))-π/2
    2×atan(0.0792086125066982)-π/2
    2×0.0790435815804868-π/2
    0.158087163160974-1.57079632675     		φ = -1.41270916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58935957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41270916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.942273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3736 KachelY 3701 2.58935957 -1.41270916 148.359375 -80.942273
    Oben rechts KachelX + 1 3737 KachelY 3701 2.59089355 -1.41270916 148.447266 -80.942273
    Unten links KachelX 3736 KachelY + 1 3702 2.58935957 -1.41295047 148.359375 -80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 3737 KachelY + 1 3702 2.59089355 -1.41295047 148.447266 -80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41270916--1.41295047) × R
    0.00024131000000005 × 6371000     		dl = 1537.38601000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41270916--1.41295047) × R
    0.00024131000000005 × 6371000     		dr = 1537.38601000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58935957-2.59089355) × cos(-1.41270916) × R
    0.00153398000000005 × 0.157429515170146 × 6371000     		do = 1538.55653905379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58935957-2.59089355) × cos(-1.41295047) × R
    0.00153398000000005 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 1536.22758259855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41270916)-sin(-1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157429515170146-0.157191209669962)×R²
    abs(2.59089355-2.58935957)×0.000238305500184166×R²
    0.00153398000000005×0.000238305500184166×6371000²
    0.00153398000000005×0.000238305500184166×40589641000000     		ar = 2363565.05767149m²