Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37357 / 38681
↖ ↑ ↗
← S 30.869225°
E 25.208130°		 ← 524.32 m → S 30.869225°
E 25.213623°		 →
↑
524.27 m
↓
↑
524.27 m
↓
S 30.873940°
E 25.208130°		 ← 524.29 m →
274 878 m²		 S 30.873940°
E 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570030212402344 y=0.590232849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570030212402344 × 216)
    floor (0.570030212402344 × 65536)
    floor (37357.5)     		tx = 37357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590232849121094 × 216)
    floor (0.590232849121094 × 65536)
    floor (38681.5)     		ty = 38681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37357 / 38681 ti = "16/37357/38681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37357/38681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37357 ÷ 216
    37357 ÷ 65536     		x = 0.570022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38681 ÷ 216
    38681 ÷ 65536     		y = 0.590225219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570022583007812 × 2 - 1) × π
    0.140045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43996486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590225219726562 × 2 - 1) × π
    -0.180450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566901774906784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43996486} λ = 0.43996486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566901774906784))-π/2
    2×atan(0.567280280848832)-π/2
    2×0.5160133534727-π/2
    1.0320267069454-1.57079632675     		φ = -0.53876962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43996486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53876962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.869225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37357 KachelY 38681 0.43996486 -0.53876962 25.208130 -30.869225
    Oben rechts KachelX + 1 37358 KachelY 38681 0.44006074 -0.53876962 25.213623 -30.869225
    Unten links KachelX 37357 KachelY + 1 38682 0.43996486 -0.53885191 25.208130 -30.873940
    Unten rechts KachelX + 1 37358 KachelY + 1 38682 0.44006074 -0.53885191 25.213623 -30.873940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53876962--0.53885191) × R
    8.22900000000404e-05 × 6371000     		dl = 524.269590000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53876962--0.53885191) × R
    8.22900000000404e-05 × 6371000     		dr = 524.269590000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43996486-0.44006074) × cos(-0.53876962) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.858340614631025 × 6371000     		do = 524.318634791431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43996486-0.44006074) × cos(-0.53885191) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.858298390347396 × 6371000     		du = 524.292842025284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53876962)-sin(-0.53885191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858340614631025-0.858298390347396)×R²
    abs(0.44006074-0.43996486)×4.22242836290998e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22242836290998e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22242836290998e-05×40589641000000     		ar = 274877.554665346m²