Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37357 / 27374
↖ ↑ ↗
← N 28.391401°
E 25.208130°		 ← 537.38 m → N 28.391401°
E 25.213623°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
N 28.386568°
E 25.208130°		 ← 537.40 m →
288 790 m²		 N 28.386568°
E 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570030212402344 y=0.417701721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570030212402344 × 216)
    floor (0.570030212402344 × 65536)
    floor (37357.5)     		tx = 37357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417701721191406 × 216)
    floor (0.417701721191406 × 65536)
    floor (27374.5)     		ty = 27374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37357 / 27374 ti = "16/37357/27374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37357/27374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37357 ÷ 216
    37357 ÷ 65536     		x = 0.570022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27374 ÷ 216
    27374 ÷ 65536     		y = 0.417694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570022583007812 × 2 - 1) × π
    0.140045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43996486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417694091796875 × 2 - 1) × π
    0.16461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.517143273101166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43996486} λ = 0.43996486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517143273101166))-π/2
    2×atan(1.67722941295655)-π/2
    2×1.03315987129593-π/2
    2.06631974259187-1.57079632675     		φ = 0.49552342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43996486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49552342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.391401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37357 KachelY 27374 0.43996486 0.49552342 25.208130 28.391401
    Oben rechts KachelX + 1 37358 KachelY 27374 0.44006074 0.49552342 25.213623 28.391401
    Unten links KachelX 37357 KachelY + 1 27375 0.43996486 0.49543907 25.208130 28.386568
    Unten rechts KachelX + 1 37358 KachelY + 1 27375 0.44006074 0.49543907 25.213623 28.386568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49552342-0.49543907) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dl = 537.393850000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49552342-0.49543907) × R
    8.43500000000108e-05 × 6371000     		dr = 537.393850000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43996486-0.44006074) × cos(0.49552342) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8797199482388 × 6371000     		do = 537.378232367153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43996486-0.44006074) × cos(0.49543907) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879760052874515 × 6371000     		du = 537.402730343235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49552342)-sin(0.49543907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8797199482388-0.879760052874515)×R²
    abs(0.44006074-0.43996486)×4.01046357152435e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.01046357152435e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.01046357152435e-05×40589641000000     		ar = 288790.339900144m²