Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37356 / 26907
↖ ↑ ↗
← N 30.623732°
E 25.202637°		 ← 525.60 m → N 30.623732°
E 25.208130°		 →
↑
525.61 m
↓
↑
525.61 m
↓
N 30.619005°
E 25.202637°		 ← 525.63 m →
276 267 m²		 N 30.619005°
E 25.208130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570014953613281 y=0.410575866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570014953613281 × 216)
    floor (0.570014953613281 × 65536)
    floor (37356.5)     		tx = 37356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410575866699219 × 216)
    floor (0.410575866699219 × 65536)
    floor (26907.5)     		ty = 26907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37356 / 26907 ti = "16/37356/26907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37356/26907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37356 ÷ 216
    37356 ÷ 65536     		x = 0.57000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26907 ÷ 216
    26907 ÷ 65536     		y = 0.410568237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57000732421875 × 2 - 1) × π
    0.1400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43986899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410568237304688 × 2 - 1) × π
    0.178863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.561916337346298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43986899} λ = 0.43986899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561916337346298))-π/2
    2×atan(1.75403059598397)-π/2
    2×1.0526406392926-π/2
    2.10528127858521-1.57079632675     		φ = 0.53448495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43986899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53448495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.623732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37356 KachelY 26907 0.43986899 0.53448495 25.202637 30.623732
    Oben rechts KachelX + 1 37357 KachelY 26907 0.43996486 0.53448495 25.208130 30.623732
    Unten links KachelX 37356 KachelY + 1 26908 0.43986899 0.53440245 25.202637 30.619005
    Unten rechts KachelX + 1 37357 KachelY + 1 26908 0.43996486 0.53440245 25.208130 30.619005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53448495-0.53440245) × R
    8.24999999999854e-05 × 6371000     		dl = 525.607499999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53448495-0.53440245) × R
    8.24999999999854e-05 × 6371000     		dr = 525.607499999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43986899-0.43996486) × cos(0.53448495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860531108785979 × 6371000     		do = 525.601876951004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43986899-0.43996486) × cos(0.53440245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8605731311834 × 6371000     		du = 525.627543717415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53448495)-sin(0.53440245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860531108785979-0.8605731311834)×R²
    abs(0.43996486-0.43986899)×4.20223974209044e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20223974209044e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20223974209044e-05×40589641000000     		ar = 276267.034018454m²