Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37354 / 27816
↖ ↑ ↗
← N 26.234302°
E 25.191650°		 ← 547.93 m → N 26.234302°
E 25.197144°		 →
↑
547.91 m
↓
↑
547.91 m
↓
N 26.229375°
E 25.191650°		 ← 547.95 m →
300 221 m²		 N 26.229375°
E 25.197144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569984436035156 y=0.424446105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569984436035156 × 216)
    floor (0.569984436035156 × 65536)
    floor (37354.5)     		tx = 37354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424446105957031 × 216)
    floor (0.424446105957031 × 65536)
    floor (27816.5)     		ty = 27816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37354 / 27816 ti = "16/37354/27816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37354/27816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37354 ÷ 216
    37354 ÷ 65536     		x = 0.569976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27816 ÷ 216
    27816 ÷ 65536     		y = 0.4244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569976806640625 × 2 - 1) × π
    0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43967724} λ = 0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474767053837036))-π/2
    2×atan(1.60763966037367)-π/2
    2×1.01433563710543-π/2
    2.02867127421086-1.57079632675     		φ = 0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37354 KachelY 27816 0.43967724 0.45787495 25.191650 26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 37355 KachelY 27816 0.43977312 0.45787495 25.197144 26.234302
    Unten links KachelX 37354 KachelY + 1 27817 0.43967724 0.45778895 25.191650 26.229375
    Unten rechts KachelX + 1 37355 KachelY + 1 27817 0.43977312 0.45778895 25.197144 26.229375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45787495-0.45778895) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dl = 547.906000000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45787495-0.45778895) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dr = 547.906000000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43967724-0.43977312) × cos(0.45787495) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 547.930042525204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43967724-0.43977312) × cos(0.45778895) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897031897903747 × 6371000     		du = 547.953262441671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45787495)-sin(0.45778895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.897031897903747)×R²
    abs(0.43977312-0.43967724)×3.80123765388873e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80123765388873e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80123765388873e-05×40589641000000     		ar = 300220.519230631m²