Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37351 / 28002
↖ ↑ ↗
← N 25.314236°
E 25.175171°		 ← 552.20 m → N 25.314236°
E 25.180664°		 →
↑
552.17 m
↓
↑
552.17 m
↓
N 25.309270°
E 25.175171°		 ← 552.22 m →
304 914 m²		 N 25.309270°
E 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569938659667969 y=0.427284240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569938659667969 × 216)
    floor (0.569938659667969 × 65536)
    floor (37351.5)     		tx = 37351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427284240722656 × 216)
    floor (0.427284240722656 × 65536)
    floor (28002.5)     		ty = 28002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37351 / 28002 ti = "16/37351/28002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37351/28002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37351 ÷ 216
    37351 ÷ 65536     		x = 0.569931030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28002 ÷ 216
    28002 ÷ 65536     		y = 0.427276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569931030273438 × 2 - 1) × π
    0.139862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43938962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    0.14544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.456934527178375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43938962} λ = 0.43938962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456934527178375))-π/2
    2×atan(1.57922548451609)-π/2
    2×1.00630654239717-π/2
    2.01261308479434-1.57079632675     		φ = 0.44181676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43938962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.175171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44181676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.314236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37351 KachelY 28002 0.43938962 0.44181676 25.175171 25.314236
    Oben rechts KachelX + 1 37352 KachelY 28002 0.43948550 0.44181676 25.180664 25.314236
    Unten links KachelX 37351 KachelY + 1 28003 0.43938962 0.44173009 25.175171 25.309270
    Unten rechts KachelX + 1 37352 KachelY + 1 28003 0.43948550 0.44173009 25.180664 25.309270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44181676-0.44173009) × R
    8.66699999999554e-05 × 6371000     		dl = 552.174569999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44181676-0.44173009) × R
    8.66699999999554e-05 × 6371000     		dr = 552.174569999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43938962-0.43948550) × cos(0.44181676) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.903976340744193 × 6371000     		do = 552.195285628532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43938962-0.43948550) × cos(0.44173009) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904013395922308 × 6371000     		du = 552.217920838926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44181676)-sin(0.44173009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903976340744193-0.904013395922308)×R²
    abs(0.43948550-0.43938962)×3.70551781154749e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70551781154749e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70551781154749e-05×40589641000000     		ar = 304914.443882405m²