Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37350 / 30606
↖ ↑ ↗
← N 11.792080°
E 25.169678°		 ← 597.90 m → N 11.792080°
E 25.175171°		 →
↑
597.92 m
↓
↑
597.92 m
↓
N 11.786703°
E 25.169678°		 ← 597.91 m →
357 497 m²		 N 11.786703°
E 25.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569923400878906 y=0.467018127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569923400878906 × 216)
    floor (0.569923400878906 × 65536)
    floor (37350.5)     		tx = 37350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467018127441406 × 216)
    floor (0.467018127441406 × 65536)
    floor (30606.5)     		ty = 30606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37350 / 30606 ti = "16/37350/30606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37350/30606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37350 ÷ 216
    37350 ÷ 65536     		x = 0.569915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30606 ÷ 216
    30606 ÷ 65536     		y = 0.467010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569915771484375 × 2 - 1) × π
    0.13983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43929375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467010498046875 × 2 - 1) × π
    0.06597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.207279153957123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43929375} λ = 0.43929375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207279153957123))-π/2
    2×atan(1.2303259742117)-π/2
    2×0.888303474010386-π/2
    1.77660694802077-1.57079632675     		φ = 0.20581062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43929375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.169678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20581062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.792080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37350 KachelY 30606 0.43929375 0.20581062 25.169678 11.792080
    Oben rechts KachelX + 1 37351 KachelY 30606 0.43938962 0.20581062 25.175171 11.792080
    Unten links KachelX 37350 KachelY + 1 30607 0.43929375 0.20571677 25.169678 11.786703
    Unten rechts KachelX + 1 37351 KachelY + 1 30607 0.43938962 0.20571677 25.175171 11.786703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20581062-0.20571677) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dl = 597.918350000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20581062-0.20571677) × R
    9.38500000000064e-05 × 6371000     		dr = 597.918350000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43929375-0.43938962) × cos(0.20581062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978895647253604 × 6371000     		do = 597.897489448722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43929375-0.43938962) × cos(0.20571677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978914822197995 × 6371000     		du = 597.909201270247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20581062)-sin(0.20571677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978895647253604-0.978914822197995)×R²
    abs(0.43938962-0.43929375)×1.91749443902989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91749443902989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91749443902989e-05×40589641000000     		ar = 357497.381979291m²